专题 一次函数与三角形的综合运用问题（五大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）八年级上册数学《第6章 一次函数》 专题 一次函数与三角形的综合应用问题 题型一 一次函数与等腰三角形问题 【例题1】（2022春•芝罘区期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数y2＝﹣2x交于点C（m，4），OA＝6． （1）求一次函数的表达式； （2）求△BOC的面积； （3）在线段AB上是否存在点P，使△OAP是以OA为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2022秋•沭阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于点A（3，0），点B（0，3）． （1）求直线AB的解析式； （2）若点C是线段AB上的一个动点，当△AOC的面积为3时，求出此时点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得△COP是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2022春•单县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2）且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴正半轴交于点C． （1）求直线n的函数表达式； （2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标； （3）若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，求直线l的函数表达式． 【变式1-3】一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求一次函数的解析式； （2）求AC的长； （3）点P为y轴上一点．且满足△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出P点坐标． 【变式1-4】如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B（0，4），过点C（0，3）作直线AB的垂线，交x轴于点D． （1）求直线AB的函数关系式； （2）连接BD，求△ABD的面积； （3）点P是x轴上一点，是否存在这样的点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-5】（2022秋•驿城区校级期末）直线y＝kx﹣8与x轴、y轴分别交于B、C两点，且． （1）求OB的长和k的值； （2）若点A是第一象限内直线y＝kx﹣8上的一个动点，当它运动到什么位置时，△AOB的面积是12？ （3）在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程） 【变式1-6】（2022春•饶平县校级期末）如图，直线y＝2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y＝﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y＝2x+m（m＞0）相交于点D，若AB＝4． （1）求点D的坐标； （2）求出四边形AOCD的面积； （3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标． 【变式1-7】（2023•沭阳县模拟）如图，直线AB：yx与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D． （1）求点A和点B的坐标； （2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为时，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形的点Q的坐标． 【变式1-8】（2022春•明溪县月考）阅读下列材料： 课本的定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．该定理的逆命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”也是真命题．请依据上面定理与真命题，解答下面问题．如图，在直角坐标系xOy中，点A（m，）在正比例函数图象上，将y轴沿着x轴正半轴平移m个单位得到直线AB，再将直线AB绕着点A逆时针旋转n°，分别交y轴，x轴于点C，点D． （1）求m的值； （2）如图1，若n＝60，求直线AD的表达式； （3）若点C在y轴正半轴上，且△OAC是等腰三角形，求点C的坐标． 题型二 一次函数与直角三角形问题 【例题2】（2022秋•莲湖区期末）如图，直线l：yx+m交x轴于点A，交y轴于点B（0，1），点P（n，2）在直线l上． （1）求m，n的值； （2）已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标． 【变式2-1】（2022秋•宿城区校级期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D． （1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积； （2）若点D的横坐标为1，在x轴上是否存在点P