第一章 空间向量与立体几何 单元测试-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何-大单元综合训练 一、选择题 1、已知点，，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为( ) A. B. C. D. 2、如图，在正方体中，点E是的中点，点F在线段AE上，且，则( ) A. B. C. D. 3、空间四边形OABC中，，，则的值是( ) A. B. C. D.0 4、如图，在平行六面体中，M是与的交点，若，，，且，则( ) A.1 B. C.0 D.-1 5、已知向量，单位向量b满足，则a，b的夹角为( ) A. B. C. D. 6、如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，E为PD的中点，，，建立恰当的空间直角坐标系，则下列向量是平面ACE的一个法向量的是( ) A. B. C. D. 7、如图，在直三棱柱中，，，D为上一点.若二面角的大小为，则AD的长为( ) A. B. C.2 D. 8、已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，E为的中点，则点到平面BDE的距离为( ) A. B.2 C. D. 二、多项选择题 9、如图所示，在一个密封的长方体装置中放一个棱长为1的正方体礼盒，已知，，的长分别为2，3，4.现以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则( ) A. B.的中点坐标为 C.在方向上的投影的数量为 D.的长为 10、如图，菱形ABCD的边长为2，，E为边AB的中点，将沿DE折起，使A到，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中正确的是( ) A.平面平面 B. C.BC与平面所成角的余弦值为 D.二面角的余弦值为 三、填空题 11、设，，若，则___________. 12、已知，，，若且，则点Q的坐标为_________. 13、如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥的体积最大时，直线AC与平面BEF所成角的正弦值为_________. 14、如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，，P，Q，M，N分别是棱，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是___________. 四、解答题 15、如图1，在平面图形ABCDE中，，，，，沿BD将折起，使点C到F的位置，且，，如图2. (1)求证：平面平面AEG. (2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为?若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何—大单元综合训练 参考答案 1、答案：B 解析：设线段AB上靠近点A的三等分点为，由题可得，即，所以解得即点.故选B. 2、答案：D 解析：由题意知，，，，，，所以. 3、答案：D 解析：因为，所以，所以.故选D. 4、答案：A 解析：，又，所以由空间向量基本定理，知，，，所以. 5、答案：C 解析：因为，所以.又，所以，即，所以，则.所以.又，所以.故选C. 6、答案：C 解析：因为底面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz， 则，，，所以，.设为平面ACE的一个法向量，则即令，得，故A，B均不正确；令，得，故C正确，D不正确. 7、答案：A 解析：如图，以C为原点，CA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，， 所以，，. 易知平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则即取，则，， 所以平面的一个法向量为. 由题意知，解得.故选A. 8、答案：D 解析：如图，以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面BDE的法向量为，则 令，则，，即. 所以点到平面BDE的距离.故选D. 9、答案：AD 解析：对于A，因为，所以，故A正确. 对于B，，，则的中点坐标为，故B错误. 对于C，，，，所以在方向上的投影的数量为，故C错误. 对于D，，，，，故D正确. 10、答案：ABD 解析：对于A，在菱形ABCD中，连接，，是正三角形，E为边AB的中点，.又，，，，平面，又，平面，平面，平面平面，故A正确. 对于B，，平面，平面，平面与平面的交线为l，平面，，故B正确. 对于C，，，平面，，以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，平面，是平面的一个法向量，设BC与平面所成角为，则，，故C错误. 对于D，平面，是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，则取，得，，由图形可知二面角为锐角，其余弦值为，故D正确. 11、答案：9 解析：由，得， 解得，，，. 12、答案：或 解析：设，则，.因为且，所以或，所以或，所以或解