2.5 二次函数与一元二次方程第2课时　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解（教案）2023—2024学年北师大版数学九年级下册

5 二次函数与一元二次方程 第2课时　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 教学目标： 1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 2.进一步发展估算能力. 3.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方法的思路,体验数形结合思想. 教学重难点： 重点:经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 难点:利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算. 教学过程： 导入 如图所示的是二次函数 y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1.6,那么另外一个根是多少? 解:由图象可知,二次函数图象的对称轴为直线x=3, 又因为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1.6, 所以方程另一个根为4.4. [问题] 关于这个问题,我们是利用抛物线的对称轴估计一元二次方程的根,如果不知道对称轴又该如何估计一元二次方程的根呢? 讲授新课 知识点1　利用函数图象估算一元二次方程ax2+bx+c=0的根 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2+2x-10=0的根吗? 解:函数图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.所以方程 x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间. x … -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 … y … -1.39 -0.76 -0.11 0.56 … 从上表可知,当x取-4.3或-4.4时,对应y的值由负变正,可见在-4.4和-4.3之间一定有一个x值使y=0,即有方程x2+2x-10=0的一个根.由于y=-0.11(x=-4.3时)比y=0.56(x=-4.4时)更接近0,所以x=-4.3更接近方程的根. 因此,方程x2+2x-10=0在-5和-4之间精确到0.1的根为x=-4.3. 同样的方法得到:另一个近似根为x=2.3. 所以一元二次方程x2+2x-10=0的近似根为 x1=-4.3,x2=2.3. [方法归纳] 先通过图象观察近似根在哪两个整数之间,然后通过“夹逼法”估算或计算器继续进行十分位估算. 知识点2　利用函数图象估算一元二次方程ax2+bx+c=k的根 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=3的根吗? 解:方程x2+2x-10=3的根就是y=3时x的值, 结合图象可以看出函数图象与直线y=3有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为x1=-4.7,x2=2.7. 范例应用 例题　已知二次函数y=x2-2x-3. (1)请你把已知的二次函数化成y=(x-h)2+k的形式,并在平面直角坐标系中画出它的图象; (2)如果A(x1,y1),B(x2,y2)是(1)中图象上的两点,且x1<x2<1,请直接写出y1,y2的大小关系为　　　　　;  (3)利用(1)中的图象表示出方程x2-2x-1=0的根,画在(1)的图象上即可. 解:(1)y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 抛物线的顶点坐标为(1,-4), 当x=0时,y=x2-2x-3=-3,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3), 当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0), 所以二次函数图象如图所示. (2)y1>y2 (3)如图所示,x3,x4为方程x2-2x-1=0的两根. 课堂训练 1.下表给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值,那么方程 ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是(B) x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 … A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38 2.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c的图象,图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),则方程ax2+bx+c=0的一个解只可能是(D) A.2.18 B.2.68 C.-0.51 D.2.45 3.试写出一个二次函数关系式,使它对应的一元二次方程的一个根为0,另一个根在1到2之间　y=x2-x(答案不唯一)　.  4.在利用图象法求方程x2=x+3的解x1,x2时,下面是四位同学的解法:甲:函数y=x2-x-3的图象与x轴交点的横坐标是x1,x2.乙:函数y=x2与y=x+3的图象交点的横坐标是x1,x2.丙:函数y=x2-3与y=x的图象交点的横坐标是x1,x2.丁:函数y=x2+1与y