2.5 二次函数与一元二次方程 教案 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

5 二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程 教学目标： 1.理解二次函数与一元二次方程的根的关系,体会方程与函数之间的联系. 2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 3.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 教学重难点： 重点:把握二次函数图象与x轴(或直线y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系. 难点:探索二次函数与一元二次方程的关系的过程;理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 教学过程： 导入 1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式　Δ>0　时,有两个不相等的实数根;当　Δ=0　时,有两个相等的实数根;当　Δ<0　时,没有实数根.  2.已知二次函数的图象与x轴的交点坐标是 (-1,0),(5,0),且函数的最值是-3.求该抛物线的表达式. 解:设二次函数表达式为y=a(x-h)2+k, 因为函数的最值是-3,所以k=-3. 又因为二次函数的图象与x轴的交点坐标是(-1,0),(5,0), 代入表达式得解得 所以抛物线的表达式为y=(x-2)2-3. 讲授新知 知识点1　二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间 t(s) 的关系可近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么 (1)h和t的关系式是什么? (2)小球经过多少秒后落地? 解:(1)由题意得,h0=0,v0=40, 所以h和t的函数关系式为h=-5t2+40t. (2)法一　通过观察题图可得 当t=8时,小球落地. 即小球经过8 s后落地. 法二　当小球落地时,h=0, 所以-5t2+40t=0. 解得t1=0,t2=8. 因为t=0是小球没抛时的时间, 所以t=8是小球落地时的时间. 所以小球经过8 s后落地. [方法归纳] 一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标. 知识点2　二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点个数的判断 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. (1)每个图象与x轴有几个交点? (2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个实数根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? 解:(1)两个;一个;0个; (2)两个;一个;没有; [方法归纳] 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.因此可以用一元二次方程根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数:当 Δ>0 时,抛物线与x轴有两个交点;当Δ=0时,抛物线与x只有一个交点,这个交点是抛物线的顶点;当Δ<0时,抛物线与x轴没有交点. 范例应用 例1　已知抛物线y=x2-6x+5. (1)求该抛物线的顶点坐标; (2)该抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C,求△ABC的面积. 解:(1)y=x2-6x+5=(x2-6x+9-9)+5=(x-3)2-4, 所以抛物线的顶点坐标为(3,-4). (2)令y=0,则x2-6x+5=0,解得x1=1,x2=5, 所以A(1,0),B(5,0).所以AB=4. 令x=0,则y=5. 所以C(5,0).所以OC=5. 所以S△ABC= AB·OC=×4×5=10. 所以△ABC的面积为10. [方法归纳] 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是ax2+bx+c=0的解. 例2　抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为(B) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 [方法归纳] 抛物线与x轴交点的个数通过Δ判断. 课堂训练 1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的位置如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况是(D) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个实数根 D.没有实数根 2.下列抛物线中,与x轴无公共点的是(D) A.y=x2-1 B.y=x2-4x+4 C.y=-x2+4x+5 D.y=x2-2x+2 3.抛物线y=2(x-1)(x-3)与x轴的交点坐标是　(1,0),(3,0)　.  4.抛物线y=(k-1)x2-