2.4 二次函数的应用第3课时 利用二次函数解决利润最大问题（教案）2023—2024学年北师大版数学九年级下册

4 二次函数的应用 第3课时　利用二次函数解决利润最大问题　 教学目标： 1.学会用二次函数来解决有关利润等函数最值问题.体会数学与生活的密切联系. 2.通过二次函数解决实际中的最值问题的探究活动,让学生体会到数学的应用价值,提高学生的学习兴趣,培养学生主动学习的学习习惯. 教学重难点： 重点:利用二次函数解决利润问题. 难点:实际问题中数量关系的分析. 教学过程： 导入 1.求下列二次函数的最值. (1)y=2x2-4x+5; (2)y=(1-x)(x+2). 解:(1)y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x-1)2+3, 所以a=2>0. 所以当x=1时,函数有最小值3. (2)y=(1-x)(x+2)=-x2-x+2, 因为a=-1,b=-1,c=2, 所以当x=- =-=-时, 函数有最大值为 = =. 2.如何计算商品的总利润? 总利润=总售价-总成本; 总利润=每件利润×售出件数. 讲授新课 知识点　最大利润问题 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5 000件,并且表示每件降价0.1元,愿意多经销500件. 请你帮助分析:厂家批发单价是多少时,可以获利最多? [点拨] 利润=每件利润×售出件数,售出件数=5 000+500×. 解:设降价x元,利润为y元, 根据题意得y=(13-10-x)(5 000+·500) =-5 000x2+10 000x+15 000 =-5 000(x-1)2+20 000, 因为a=-5 000<0, 所以x=1时,y有最大值, 即厂家批发的单价为12元时利润最大. 范例应用 例1　某旅社有客房120间,每间房的日租金为 160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,每天客房的总收入最高? 解:设每间客房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间. 设调整后客房日租金总收入为y元, 则y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19 440. 因为x≥0,且120-6x>0, 所以0≤x<20. 所以当x=2时,y最大=19 440. 这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元). 答:每间客房的日租金提高到180元时,每天客房的总收入最高. 例2　某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (1)利用函数描述橙子的总产量y与增种橙子树的棵数x之间的关系; (2)增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60 400个以上? 解:(1)果园增种x棵橙子树,那么果园共有(x+100)棵橙子树, 则平均每棵树结(600-5x)个橙子. 所以y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60 000. (2)由题意得y=-5x2+100x+60 000=60 400, 整理得出x2-20x+80=0, 解得x1=10+2,x2=10-2, 因为抛物线对称轴为直线x=10, 所以增种6到14棵橙子树时,可以使果园橙子的总产量在60 400个以上. 课堂训练 1.某商场降价销售一批名牌球鞋,已知所获利润y(元)与降价金额x(元)之间满足函数关系式y=-x2+50x+600,若降价10元,则获利为(D) A.800元 B.600元 C.1 200元 D.1 000元 2.某超市销售一种商品,每件成本为50元,销售人员经调查发现,该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足函数关系式y=-5x+550,若要求销售单价不得低于成本,为了每月所获利润最大,该商品销售单价应定为多少元?每月最大利润是多少?(B) A.90元,4 500元 B.80元,4 500元 C.90元,4 000元 D.80元,4 000元 3.某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售 20件.经调查发现,这种生活用品的销售单价每提高1元,其日销售量相应减少4件,那么将销售单价定为　11　元时,才能使每天所获销售利润最大.  4.某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测:今年7月份,每天的客房空闲数y(间)与定价x(元/间)之间满足y=x-42(x≥168).若宾馆每天的日常运营成本为5 000元,有客人入住的房间,宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用,宾馆想要获得最大利润,同时也想让客人得到实惠,应将客房定价确定为　256　元.  5.(2021深圳