第3章 勾股定理（知识清单+典型例题）【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（苏科版）

第3章 勾股定理（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 1勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式：，， . 【例1】（2023上·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考期中）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验． 【初步感知】数学课上，同学们用纸片进行折纸操作． 如图①，在中，，，．将沿着翻折，使点A落在AB边上的处，且，则______，______． 【方法探索】折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 小明遇到这样一个问题：如图②，在中，，，平分，求证：．小明的思路如下：如图③，将沿翻折，使点落在边上的处，连接， （1）请完成小明的证明过程； （2）如图④，是边上的高线，其他条件不变，请你用刚刚获得的方法探索、、之间的数量关系，并直接写出它们之间的数量关系______． 【思维拓展】 如图⑤，在中，，，，、是边上的点，连接、，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上：再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上，则线段的长为______． 2勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 【例2】（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在等腰直角中，，，，垂足分别为E、C． (1)求证：； (2)连接，若，，，请利用此图验证勾股定理． 【变式】（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）观察下列各式，你有什么发现？，，，，…用你的发现解决下列问题： (1)填空： ； (2)请用含字母n（n为正整数）的关系式表示出你发现的规律： ； (3)结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性． 3勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形 【例3】（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 …… …… …… x y 122 A．142 B．143 C．144 D．145 【变式1】（2023上·陕西渭南·八年级统考期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．1，2，2 B．，， C．9，40，41 D．6，6，6 【变式2】（2023上·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考期中）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 【变式3】（2023上·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校考期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． 若两直角边为，斜边为． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______； (2)当（为奇数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)当（为偶数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）； (4)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，______． 4如何判定一个三角形是否是直角三角形 首先确定最大边（如）. 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形， 其中为三角形的最大边. 【例4】（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三