5.3.1函数的单调性（2） 教学设计——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数的应用——函数的单调性（二） 一、教学内容及其解析 课时教学内容：应用导数求初等函数的单调性． 内容解析：《函数的单调性》是人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容.本节课的主要内容是利用导数研究函数的单调性.单调性是函数的重要性质，反映了函数的变化趋势，高一时我们已经学习了通过图象和定义判断函数单调性，但是大多数函数的图象不容易做，对于含字母的代数式来说，定义法通常比较麻烦，有时甚至比较困难，因此这两种方法都有其局限性.通过前面的学习，我们知道，导数是关于瞬时变化率的数学表达，此时学生还没有用导数来表征函数变化趋势的意识.上节课借助具体实例，通过观察函数图象的升降，并利用导数的几何意义建立函数的单调性与导函数正负之间的关系，得到了用导数研究函数单调性的理论依据.本节课将进一步地利用导数的几何意义与几何直观，得出导数判断函数单调性的方法，并利用这个方法研究一些简单函数的单调性.后续在此基础上，通过考察导数在导函数零点两侧正负性的变化情况给出函数极值的概念及其求法，并进一步研究闭区间上连续函数的最值；最后利用导数研究函数的单调性、极值与最值的综合性问题，以及简单的优化问题.因此，本节课具有承上启下的作用. 蕴含的数学思想和方法：本节课体现了数形结合、转化与化归的数学思想，提供了一种用导数作为工具寻求函数单调性的程序化方法及其具体步骤． 知识的上下位关系： 判断函数的单调性 定义法、图象法 过程复杂，且局限性较大 导数法 具有一般性 求函数的极值与最值 利用单调性给出极值的概念及其求法 育人价值：理解函数的单调性与导数符号的关系能提升学生直观想象的核心素养，学会用导数研究函数单调性，能发展学生的数学运算、逻辑推理核心素养. 二、学情分析 前测的结果显示，学生对函数的单调性与导函数正负的关系的掌握情况较好.但在具体求解函数单调性的过程中，还是会选择通过函数图象直观，利用不等式和方程等知识，用定义法研究函数的单调性.显然，这些方法比较依赖于函数的类型，如（定义法、增加增等），用导数去解决函数单调性的意识不够，缺少一种研究函数单调性的一般性方法. 三、教学目标及其解析 1. 经历用导数和定义两种方法探究三次函数的单调性的过程，感受且认同导数方法在研究函数单调性时的优越性和一般性. 2.借助信息技术软件，进一步应用数形结合思想去体会利用导数的几何意义，体会函数变化快慢与导函数之间的关系，发展学生的直观想象核心素养. 3.经历用列表的方式表示导数符号以及用导数确定函数的单调性的过程，学会应用导数判断函数的单调性，掌握用导数研究函数单调性的一般步骤，发展学生的数学运算、逻辑推理核心素养. 教学重点：求函数的单调区间. 上述目标达成的标志： 1.会用导数方法通过列表的方式，求解简单函数的单调区间（课堂练习）. 2.能够归纳出用导数研究函数单调性的一般步骤（课堂小结）. 四、教学问题诊断分析 学生已经学习过基本函数的求导公式以及复合函数如何求导，会用导数的正负判断简单的单调性.可能会出现以下三种问题，第一种是能正确求解一元二次不等式，导致单调区间判断有误，教师应在课堂上简单复习回顾一元二次不等式的解法，强化学生记忆.第二种是解决问题过程中是漏掉函数的定义域、导数无零点的情形不会列表，教师应该反复强调步骤，设置课堂练习巩固.第三种是过程书写不规范，教师应该板书具体过程，进行示范. 五、教学支持条件分析 借助Geogebra软件作图，能直观形象地理解三次函数的系数不同时，函数的增减情况．直观理解不同函数在同一区间内的增长快慢情况. 六、教学过程设计 第一阶段：复习回顾 【前测1】函数的单调性与导函数正负的关系如何？ 【预设】定义在区间内的函数： 的正负 的单调性 正 单调递增 负 单调递减 【前测2】“”是“为增函数”的____________条件. 【前测3】判断三次函数的单调性. 【预设1】从图象：描点，观察图象，写出大致单调区间，但描点作图不精确. 【预设2】从定义：对任意，当时，有，但符号不好判断． 【预设3】从性质：增函数加增函数为增函数，但局限性较大.例如无法用性质判断. 【预设4】从导数：,因为在上恒成立，所以在上单调递增. 【设计意图】复习函数单调性与导数之间的关系，提供解决单调性问题的新思路。对比不同的解决方法，让学生体会到使用导数方法的优越性，为寻求一般性解法做铺垫. 第二阶段：探究新知 【知识点1】用导数求函数的单调性 之前我们已经学习过二次函数的单调性，那么三次函数的单调性如何呢？这里我们不妨以一具体的三次函数为例进行研究： 【例题1】求函数的单调区间． 【活动1】先让学生由单调性的定义思考函数单调区间的求法． 【预设】学生由定义法可以化得下式： 会发现很难判断在哪些区间