5.3.1函数的单调性（1） 教学设计——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课题 5.3.1函数的单调性（1） 课型 新授课 一、内容及其解析 1.内容 函数的单调性与导数的正负之间的关系，利用导数的正负性判断函数的单调性． 2.内容解析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第五章《一元函数的导数及其应用》的第三节导数在研究函数中的应用第1课时，主要学习利用导数研究函数的单调性。学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图象、单调性定义来研究函数的单调性，但对大多数函数而言，直接画出其图象不是一件容易的事情，至于根据定义去判断函数的单调性，其中含字母的代数式值的大小比较通常较困难，所以也不是通性通法。本节之前学习到导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，因而可以把函数单调性的判断问题转化为导数的运算问题，具体通过函数导数的正负性判断出函数的单调性，这种方法在解决函数的单调性问题时具有“普适性”。 本节就高台跳水问题，考察运动员的重心相对于水面的高度函数的单调性与导数的正负间的关系；接着，通过更多的具体函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负之间的关系；进而，体会从具体到抽象，从特殊到一般的过程，概括出共性规律，给出一般可导函数的单调性与导数的正负之间关系的普适性结论；最后利用这个关系，用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间。 蕴含的数学思想和方法： 通过探究函数图象的升降与导数的正负之间的关系，得出可用导数判断函数单调性的结论与方法，这一过程中蕴含着数形结合的思想。利用函数的导数及其运算，将判断函数的单调性这一复杂问题，转化为步骤明确的运算问题，这又蕴含了重要的数学运算思想。用导数研究函数的单调性，对于培养学生利用函数模型描述客观事物的变化规律有着重要意义，是提升学生的数学运算与数学建模素养的很好的载体. 二、目标及其解析 1.目标 （1）结合函数图象实例，借助几何直观探索并发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养； （2）结合具体函数实例，归纳根据函数导数的正负判断函数单调性的解题步骤，发展数学运算、逻辑推理的数学素养。 2.目标解析 达成上述目标的标志是： （1）对于给定的函数图象，学生能够借助导数的几何意义判断出导数的正负与函数的单调性，并将二者关联起来； （2）对于给定的函数，学生能够利用导数求出函数的单调递增（递减）区间。 三、教学问题诊断分析 在本节之前，学生已经学习到导数概念、导数几何意义、导数的四则运算等导数相关知识，并且在必修一中已经对函数单调性有一定的认识，如可以利用函数图象、单调性定义来研究函数的单调性。因此具有用导数研究函数单调性的基本知识储备。 但由于学生没有学习过拉格朗日中值定理，不能严格证明用导数正负判断函数单调性的一般结论，这是本节课的教学难点之一。为了克服这一难点，本节借助本章一以贯之的高台跳水案例图象，使学生在熟悉的情境中观察到函数的单调性与函数导数的正负之间具有密切关系。接着，让学生结合更多具体函数如一次函数、二次函数、三次函数、反比例函数的图象进行几何直观，联想导数的几何意义进行解释说明，完成从特殊到一般的发现过程，还可以借助利用信息技术工具帮助学生观察、发现、理解结论。另外，利用导数判断函数的单调性时，会遇到导数在某个区间上存在零点，但函数在这个区间上仍然是单调递增（或递减）的问题（如），对于这一难点，教师在教学时要引导学生去充分辨析用导数正负判断函数单调性这一结论具有充分性，并举出具体实例的图象帮助学生区别与理解。 四、教学重点与难点 教学重点：建立函数的单调性与导数的正负之间的联系，求简单函数的单调区间。 教学难点：归纳利用导数的正负判断函数的单调性的结论。 五、教学策略分析 在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视注重与实际的联系，利用学生的已有知识与经验创设丰富的情境，为学生提供脚手架。 六、学习活动设计 （一）回顾旧知 问题1：必修第一册中研究了函数的单调性。请同学们回忆函数的单调性是如何定义的？判断函数的单调性有哪些方法？各有什么优缺点？ 学生活动：回忆判断函数单调性的方法，小组交流讨论，并一起进行归纳。 预设： 1.定义：若对任意且都有（或），那么函数在区间上是单调递增（减）的。 2.判断函数单调性的方法有图象法、定义法。 ①通过画出函数图象观察其单调性非常简单直接，但是多数情况无法直接画出函数图象，因此图象法适用性低。 ②从定义出发可以判断函数的单调性，但是定义法需要进行含字母的代数式值的大小比较，计算较为繁琐。 教师引导：对于更复杂的函数，用定义法和图象法研究函数的单调性比较困难，因此我们要寻求研究函数单调性的更普适