5.2导数的运算（2）教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课题 导数的运算（2） 课型 新授课 一、教材内容及其解析 1.内容 导数的四则运算法则，简单复合函数的导数. 2.内容解析 内容的本质：本课是人教A版数学选择性必修第二册第五章“一元函数的导数及其应用”第二节“导数的运算”中的内容.本节分为“几个常见函数的导数”和“基本初等函数的导数公式及导数的运算法则两部分内容.本课时主要研究导数的运算法则，包括：两函数和、差、积、商的求导法则和复合函数求导法则，本课时的内容是处理复杂函数求导的重要工具. 蕴含的数学思想和方法：采用从特殊到一般的方法，从具体到抽象，先以具体函数为例，猜想导数的四则运算法则，然后给出导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则，通过本节的学习，学生的数学运算素养与逻辑推理素养将得以提升. 知识的上下位关系：高中阶段研究的函数是由基本初等函数通过有限次四则运算或复合得到的.因此,引入导数的概念之后，先研究基本初等函数的导数、导数的四则运算法则以及复合函数的导数，然后解决简单初等函数导数的相关问题.同时，导数是微积分的核心内容之一,蕴含着微积分的基本思想；通过深入理解与学习导数，可以更好地掌握微积分地基本概念与方法，为进一步地研究与应用打下坚实的基础. 育人价值：导数在高中数学中的工具性价值非常重大，它不仅在数学领域有广泛应用，还在自然科学、社会科学等领域中具有实际应用价值，通过对导数运算的学习、利用导数解决问题，对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有重要意义. 基于以上分析，确定本节课的教学重点：导数的运算法则的理解、记忆、应用. 二、教学目标及其解析 目标 目标解析 经历从具体函数到一般函数的过程，掌握导数的四则运算法则，发展数学运算素养. 能灵活运用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 通过具体实例，理解复合函数的概念,理解简单复合函数的导数，发展逻辑推理等素养. 能明确复合过程中的自变量、因变量以及中间变量，能明确简单复合函数的复合过程，即因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程. 通过求简单复合函数的导数，掌握复合函数的求导法则，发展数学运算的素养. 能求简单复合函数(形如f(ax+b)的复合函数)的导数. 三、教学问题诊断分析 1.学生已有经验 通过节引言的学习，学生已经快速了解了本节的缘起、研究路径和方法，学生在之前已经了解了导数的概念、几何意义，掌握了基本初等函数的导数的求法，这为本节课的学习做了铺垫. 2.教学存在问题 学生在研究函数的积、商的导数运算法则时，受前述函数的和、差的导数运算法则的影响会自然地猜想函数的积(或商)的导数等于函数导数的积(或商)，这是在教学中需要引起注意的一个问题.此外，本节课利用导数的基本运算法则求基本初等函数和简单复合函数的导数，这是运用导数研究函数性质的基础和必备技能.复合函数的求导是“从外向内”分层求导，需要准确分析复合函数的结构.学生对复合函数复合过程的认识存在一定困难,需要加强对复合函数复合过程的分析，厘清复合函数中的自变量、中间变量、因变量. 3.问题解决策略 基于此，设置具体的任务与思考，由特殊到一般，通过对具体函数的积与商的求导，使学生认识到函数的积(或商)的导数不一定等于导数的积(或商).在纠正了错误的猜想后再给出函数的积(或商)的导数运算法则，从而降低这一内容的认知难度.之后,给出过渡问题，函数的商的导数运算法则可以通过积的法则得到，引发学生思考如何处理对的求导，通过具体实例（仅限于形如f(ax +b)的复合函数），让学生直观感知什么是复合函数，明确复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么，分析因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程，即对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数；同时，以具体的复合函数为例，研究其导数，分析复合函数求导法则的合理性，分别求出，，，进行探索、发现、验证，在求复合函数导数的方法的基础上给出复合函数的求导法则，使问题得到快速合理地解决. 基于以上分析，确定本节课的教学难点：简单复合函数的求导法则. 四、教学支持条件分析 多媒体课件动画演示. 五、教学活动设计 【本课时教学流程图】 复习回顾， 提出问题. 法则探究， 明晰重点. 典型例题， 活学活用. 归纳小结， 反思提升. （一）复习回顾，温故知新 问题1 如何求函数y=f(x)的导数？ 预设：根据导数的定义，可以用导数的定义来求函数的导数，这涉及极限的运算，并不是任意一个函数都可以通过定义求出其导数；一些特殊的，比如基本初等函数，我们前一节课已经得到了求导公式，所以可以直接通过公式得到其导数. 追问1 导数的定义是什么？ . 利用定义求导： （1） 求增量； （2） 算比值； （3）