4.5.1函数的零点与方程的解课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

4.5 函数的应用(二) 4.5.1 函数的零点与方程的解 ? ? 判断下列方程是否有实根,有几个实根? 对应函数 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 ? 一、函数零点的概念 1.我们已经学习过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点,它是指使得ax2+bx+c=0的实数x. (1)二次函数的零点是几何中的“点”吗? 提示:不是,二次函数的零点是一个实数. 提示:f(x),g(x),h(x)都存在,p(x)不存在. ? 2.填空: 对于函数y=f(x),我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 辨析:下列结论正确的是 (1)函数f ( x) = x -1的零点是(1 , 0) ; (2)函数f ( x) = x -1的零点是1 ; (3)函数f ( x) = x -1的零点是x =1 . (2)(3) ? 3.函数y=2x-5,y=x2-3x+2,y=2x-1,y=ln(x-2)的零点分别是什么? 它们的图象与x轴的交点坐标分别是什么? 方程2x-5=0,x2-3x+2=0,2x-1=0,ln(x-2)=0的解与它们有何关系? ? 4.填空:方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 答案:B ? 二、根据函数解析式求函数零点 [例1] 下列函数是否存在零点?如果存在,请求出. (1)f(x)=-x2-4x-4; (3)f(x)=4x+5; 解:(3)令4x+5=0,则4x=-5<0,而4x>0,所以方程4x+5=0无实数根.所以函数f(x)不存在零点. (4)f(x)=log3(x+1). ? 解:(1)令2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26. 即时训练1-1:求下列函数的零点. (1)f(x)=2x-1-3; ? 解:(3)当x>0时,由f(x)=0,即ln x=0,解得x=1; 当x≤0时,由f(x)=0,即ex+1-1=0,解得x=-1. 综上,该函数有两个零点为1和-1. ? 根据函数解析式求函数零点的两种方法 (1)代数法: 求方程f(x)=0的实数根(要判断所得根是否在函数定义域内). (2)几何法:对于不易求根的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 注意:几何法常用来判断函数零点的个数. ? 三、判断函数零点的个数 A.0 B.1 C.2 D.无数 A.0 B.1 C.2 D.无数 ? 即时训练3-1:设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=ex+x-3,则f(x)的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ? 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)解方程,有几个不同的实数根就有几个零点. (2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数. (3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点问题. ? 四、函数的零点存在定理 [问题2-1] 观察函数f(x)的图象: (1)在区间(a,b)上 (填“有”或“无”)零点;f(a) f(b) 0 (填“<”或“>”). (2)在区间(b,c)上 (填“有”或“无”)零点;f(b) f(c) 0 (填“<”或“>”). (3)在区间(c,d)上 (填“有”或“无”)零点;f(c) f(d) 0 (填“<”或“>”). ? 函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解. 连续不断 f(a) f(b)<0 至少有一个 f(c)=0 ? 做一做:若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)f(b)>0,则函数f(x)在区间(a,b)内( ) A.必有唯一零点 B.一定没有零点 C.必有无数个零点 D.可能有两个零点 ? 判断函数的零点所在区间的三个步骤 (1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值. (2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断. (3)结论:若符号为负且函数的图象是连续的,则在该区间内至少有一个零点. ? 五、确定函数零点所在的区间 [例2] 设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) ? ? 答案:1 ? (2)对于下列函数:①f(x)=2x-5;②g(x)=2x-1;③h(x)=ln(x-2); ④p(x)=.它们是否都存在使得其函数值等于0的实数x? 提示:零点分别是,1和2,0,3;图象与x轴的交点