第5章 二次函数（存在性问题探究之平行四边形、矩形、菱形） 练习 2023-2024学年苏科版数学九年级下册

2023-2024学年苏科版数学九年级下册 第5章 二次函数 （存在性问题探究之平行四边形、矩形、菱形） 【典型例题】 题型一：二次函数中平行四边形的存在性问题 1.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标； 2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OB＝OC＝3OA. (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标； (3)在(2)的结论下，点M为x轴上一动点，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y＝﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值． （3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由． 4.已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； （3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 5.如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点．其顶点为． （1）抛物线及直线的函数关系式； （2）点在直线上，求使的值最小时的点坐标； （3）若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 题型二：二次函数中矩形的存在性问题 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B．△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，连接DE．当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2． （1）求该抛物线的解析式； （2）求证：四边形OBED是矩形； 2.如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），C（0，2），与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC'，试判断四边形BC'AC的形状，并证明你的结论． 3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－，0)、B(3，0)，两点，与轴交于点C(0，3)． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是直线上方抛物线上一点，作EF⊥BC于点F，求当的长度最大时点E的坐标以及EF长度的最大值； (3)将抛物线沿射线CA方向平移2个单位的距离得到新抛物线，点是平面内一点，点M为新抛物线上一点，若以B，C，M，N为顶点的四边形是以BC为边的矩形，求点M的坐标． 4.如图，二次函数的顶点坐标为，矩形的顶点、在轴上，、在抛物线上，矩形在抛物线与轴所围成的图形内． （1）求二次函数的解析式； （2）设点的坐标为，试求矩形的周长关于自变量的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （3）是否存在这样的矩形，使它的周长为9？试证明你的结论． 5.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C． （1）求该抛物线解析式； （2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）向右平移经过点Q，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），点E在新抛物线的对称轴上，是否存在平面内一点F，使得A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三：二次函数中菱形的存在性问题 1.如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y＝x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB＝2．则菱形OABC的面积是（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 2.如图，一次函数yx图象与坐