第5章 二次函数（存在性问题探究练习之三角形、平行四边形、矩形）2023-2024学年苏科版数学九年级下册

2023-2024年苏科版数学九年级下册 第5章 二次函数 （存在性问题探究之练习三角形、平行四边形、矩形） 【典型例题】 题型一：二次函数中三角形的存在性问题 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x＝﹣．连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G．在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线L经过点A（﹣1，0）和B（3，0）与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足△BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由． 4.如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点． （1）求二次函数的表达式； （2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标． 5.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，OB＝3，抛物线经过点（2，5）． （1）求该抛物线解析式； （2）如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PG⊥BD于点G，求2PG+EF的最大值，及此时点P的坐标； （3）如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以AN为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标． 题型二：二次函数中平行四边形的存在性问题 1.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由． 2.如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值． 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（6，0）．对称轴l与x轴交于点F，P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC． （1）求抛物线的表达式； （2）当四边形ACPB面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，连接PF，E是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 4.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH． （1）抛物线的解析式为 　 　； （2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 5.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线经过A、B两点． （1）求b、c的值． （2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值． （3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三：二次函数中矩