专题5.2 三角函数的概念-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题5.2 三角函数的概念 知识点一 任意角的三角函数 (1)定义 设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 拓展：任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r， 则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦． 知识点二 单位圆与三角函数 几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． 知识点三 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝. 知识点四 公式一 知识点五 特殊角的三角函数值 知识点六 重要结论 (1)弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,等类型可进行弦化切. (2)“1”的灵活代换法: 等. (3)和积转换法:利用的关系进行变形、转化. 考点01 三角函数的定义及其应用 【典例1】（2023下·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知是角的终边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 (1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题． 考点02 由终边或终边上的点求三角函数值 【典例3】（2023上·天津红桥·高一天津市第五中学校考阶段练习）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2023上·高一课时练习）已知角的终边落在射线上，求的值． 【规律方法】 )已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值． 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解． 考点03 利用三角函数定义求参数 【典例5】（2023上·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）若角的终边上有一点，且，则（    ） A．4 B． C．-1 D． 【典例6】．（2022上·广东茂名·高一统考期末）若角的终边经过点，且，则 ． 考点04 公式一及特殊角的函数值 【典例7】（2023春·内蒙古呼和浩特·高一校联考期中）求的值. 【典例8】（2022·全国·高一专题练习）计算： (1)； (2). 【规律方法】 利用终边相同的角的三角函数值相等，可将角的函数值计算加以转化． 考点05 单位圆及其应用 【典例9】（2023下·北京·高一北京四中校考期中）若，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例10】（2023·高一课时练习）在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 三角函数线可帮助比较三角函数值的大小. 考点06 各象限三角函数值的符号 【典例11】（2023上·全国·高一专题练习）确定下列三角函数的符号： (1) (2) (3) (4) 【典例12】（2023·全国·高一随堂练习）确定下列各式的符号： (1)； (2)． 【规律方法】 已知一角的三角函数值sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况． 考点07 根据三角函数值的符号确定角的范围 【典例13】（2022下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）已知，，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例14】（2022上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点08 同角公式的基本应用 【典例15】（2023上·上海松江·高三校考期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例16】（2023·全国·高三专题练习）若，则 ． 【规律方法】 1.知弦求弦：利用诱导公式及平方关系求解；在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确