第一章 丰富的图形世界 复习讲义 2023—2024学年北师大版数学七年级上册

第一章 《丰富的图形世界》 1.1 生活中的立体图形 知识点1 常见几何体及其分类 立体图形：各部分不在同一平面内的几何图形叫做立体图形，也叫几何体. 圆柱 直棱柱 斜棱柱 圆锥 棱锥 圆台 （底面形状都是圆，但是大小不同） 棱台 （底面形状相同，但是大小不同， 侧面是梯形） 球体 【例1】下列是我们常见的几何体，按要求将其分类（只填写编号）． (1)如果按“柱”“锥球”来分，柱体有______，椎体有______，球有______； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有______，无曲面的有______． 【答案】(1)①②⑥；③④；⑤； (2)②③⑤；①④⑥ 【变式1-1】把图中的几何图形与它们相应的名称连接起来． 知识点2 棱柱的相关概念及特征 1.棱和侧棱的定义：在棱柱中任何相邻两个面的交线，都叫做 棱 ；相邻两个侧面的交线叫做 侧棱 . 2.棱柱所有的侧棱长都___相等_____.棱柱的上、下底面的形状 相同 ，侧面的形状都是 平行四边形 . 3.长方体，正方体都是___四棱柱___. 4.棱柱可以分为 直棱柱和斜棱柱 ，直棱柱的侧面是长方形，侧棱住的侧面是平行四边形 棱柱的特征 棱柱 面的个数 顶点个数 棱的条数 n棱柱 n+2 （侧面数+上、下底面数） 2n （上、下底面顶点数） 3n （侧棱数+上、下底面棱数） ( （1）解：圆柱由两个底面和一个侧面组成，底面是平面，侧面是曲面；六棱柱由两个底面和六个侧面组成，都是平面． （2）解：圆柱的侧面与上下两个底面相交各成一条线，是个圆，它是曲线． （3）解：六棱柱两个底面是六边形，故共有12个顶点； 经过每个顶点有三条棱． （4）解：棱柱与圆柱的相同点是：都是柱体，都有两个底面； 不同点是：棱柱与圆柱的底面形状不同，棱柱的底面是多边形，圆柱的底面是圆形，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的侧面是长方形． )【例2】如图所示，左边是小颖的圆柱形的笔筒，右边是小彬的六棱柱形的笔筒．仔细观察两个笔筒，并回答下面问题．    （1）圆柱、六棱柱各由几个面组成?它们都是平的吗? （2）圆柱的侧面与底面相交成几条线?它们是直的吗? （3）六棱柱有几个顶点?经过每个顶点有几条棱? （4）试写出圆柱与棱柱的相同点与不同点． 【变式2-1】如图所示是一个六棱柱，它的底面边长是4cm，高是6cm． （1）这个棱柱共有多少条棱？所有的棱长的和是多少? （2）这个棱柱共有多少个顶点？ 【答案】(1) 这个棱柱共有18条棱，所有的棱长的和是84cm； (2) 这个棱柱共有12个顶点 【变式2-2】一个棱柱有14个顶点，所有侧棱长的和是56厘米，则每条侧棱长是 8 厘米. 【变式2-3】如果一个直棱柱有30条棱，那么该棱柱有 12 个面. 【变式2-4】一个直棱柱有条棱，则这个直棱柱有 8 个顶点． 【变式2-5】新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ， 这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 五 棱柱； （3）一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数． 由题意得：F+F-30=2，解得F=16，∴这个多面体的面数为16． （4）已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得,解得：， 故该多面体的面数为6． （5）某个玻璃体饰品的外形是多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值. ∵有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；∴共有48×3÷2=72条棱， 设总面数为F，48+F-72=2，解得F