5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2 三角函数的概念 5.2.2 同角三角函数的基本关系 复习回顾 1.三角函数的定义： P(x,y) 2.三角函数值的符号： x y O ( ) ( ) ( ) ( ) x y O ( ) ( ) ( ) ( ) x y O ( ) ( ) ( ) ( ) PART 1 诱导公式一 其中 三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. 诱导公式一表面终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 思考 ？ α+2π 思考 1 1 1 如图，设点P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点.过P作x轴的垂线，交x轴与M，则ΔOMP是直角三角形，而且OP=1，由勾股定理有 OM2+MP2=1，即x2+y2=1 即sin2α+cos2α=1 显然，当α的终边与x轴重合时，上式也成立. PART 2 同角三角函数基本关系 sin2α+cos2α=1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 注意点： 例题探究--已知一个三角函数值求其他三角函数值 例2 已知，求，的值. 练习2 已知，求，的值. 练习巩固--已知一个三角函数值求其他三角函数值 ∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1， ∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1， 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时， 已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值. 当角α的终边在第四象限时， 利用同角三角函数的关系化简 提示　sin2α＋cos2α＝1⇒ 例2 化简： 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 弦切互化求值 例题探究--已知tanα的值，求关于sinα、cosα的齐次式的值 例3. 已知tanα=-2，则( ) A.-4 B. C.-1 D. C 练习巩固--已知tanα的值，求关于sinα、cosα的齐次式的值 练习4. 已知tan=-2，则的值是( ) A. B. C.- D. A 跟踪训练1 解得tan α＝1. sin2α＋sin αcos α＋1 (2)sin2α＋sin αcos α＋1. sin θ±cos θ型求值问题 已知sin θ±cos θ，sin θcos θ求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； (4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们，若已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出. 例题探究--sinα±cosα与sinα·cosα关系的应用 例4. 已知<x<0，sinx+cosx=，则sinx-cosx=_________ 注意判断角的范围，以确定结果的符号 练习巩固--sinα±cosα与sinα·cosα关系的应用 例4. 已知<x<，sinx+cosx=，则cosx-sinx=_________ 课堂小结 1.诱导公式一： 2.同角三角函数基本关系： 其中 sin2α+cos2α=1 (1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立. (2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立. (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，先求cos α＝±，再由公式tan α＝求tan α. (2)若已知cos α＝m，先求sin α＝±，再由公式tan α＝求tan α. (3)若已知tan α＝m，则tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，通过方程组求解. (4)注意