上海市育才中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

上海市育才中学高三数学12月检测试题 2023.12 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1-6题每个空格填对每题得4分，7-12题每个空格填对每题得5分，否则一律得零分。 1．函数的定义域是________． 2．抛物线的焦点坐标为，则C的准线方程为________． 3．记为等比数列的前n项和．若,，则=__________． 4．已知,，则在方向上的数量投影为________． 5．已知z为复数，满足，那么的最大值是________． 6．设，则使方程成立的x的取值范围是________． 7．一个袋子中有个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为，则的最大值为________． 8．已知直线是函数图象的一条对称轴，则直线的倾斜角为________． 9．设集合，A是X的子集，A中元素个数至少是2，且A的所有元素可排成连续的正整数，则这样的集合A的个数为________． 10．已知点A,B,C在圆上运动，且，若点P的坐标为，则的最大值为________． 11．数列满足,，且，则的最大值是________． 12．函数的定义域为R，满足,,,,，若函数的图像与直线在y轴右侧有3个交点，则实数m的取值范围是________． 二、选择：（13、14题每题4分，15、16题每题5分共18分） 13．已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得，那么动点Q的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 14．曲线与直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为，则等于（ ） A．π B．2π C．3π D．4π 15．我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ） A．32π B．24π C．18π D．16π 16．已知A,B是平面内两个定点，且，该平面上的动线段PQ的两个端点P,Q满足,,，则动线段PQ所围成的面积为（ ） A．50 B．60 C．72 D．108 三、解答题 17．（本题14分）第1小题3+4分，第2小题7分 （1）叙述三垂线定理内容，并证明； （2）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AC=AB，E、F分别是CD、PD的中点．求异面直线AF与PE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 18．（本题14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分 在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知，且． （1）求；（2）若的面积为，求边长a． 19．（本题14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在单调递增，求a的取值范围． 20．（本题18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知椭圆的离心率是，点A是椭圆的上顶点，点P是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点． （1）求椭圆Γ的方程； （2）设圆．若直线AP与圆C相切，求点P的坐标； （3）若点M是椭圆Γ上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点，点M关于x轴的对称点是点N，直线MP、NP分别交x轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值．若不为定值，说明理由． 21．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 设数列的前n项和为，对一切，点都在函数图像上． （1）求，归纳数列的通项公式（不必证明）； （2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值； （3）设为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$