第5章 二次函数 讲义 2023-2024学年苏科版数学九年级下册

二次函数的图像与性质 1、 二次函数一般式：y=ax2+bx+c，（a≠0）； ①a＞0时，开口向上，二次函数有最小最。 在对称轴左边，y随着x的增大而减小；y随着x的减小而增大。（减函数） 在对称轴右边，y随着x的增大而增大；y随着x的减小而减小。（增函数） ②a＜0时，开口向下，二次函数有最大值。 在对称轴左边，y随着x的增大而减小；y随着x的减小而增大。（减函数） 在对称轴右边，y随着x的增大而增大；y随着x的减小而减小。（增函数） ③|a|值越大，二次函数图像的开口程度越小；|a|值越小，二次函数图像的开口程度越大。 所以a值决定了函数图像的形状。 2、C是常数项，表示函数图像与y轴的交点。函数图像与y轴交点是几，C就是几。 例：如右图，函数图像与y轴的交点是3，所以C=3。 3、b是一次项前面的系数，二次函数图像是一个轴对称图形，对称轴是x= - 。 ①当a与b同号时，函数图像的对称轴在x轴的负半轴，如图1. ②当a与b异号时，函数图像的对称轴在x轴的正半轴，如图2. （图1） （图2） 4、当b=0，C=0时，y=ax2，（a≠0） 函数图像顶点在原点上，顶点坐标（0,0），图像的对称轴是y轴。 5、将二次函数y=ax2+bx+c，（a≠0）的图像平移。 ①二次函数图像上、下平移m个单位时，直接在函数表达式后面±m。（上加下减）， y=ax2+bx+c+m，（a≠0） ②二次函数图像左、右平移n个单位时，将表达式中的x变成x±n。（左加右减）。 y=a（x±n）2+b（x±n）+c，（a≠0） ③二次函数图像的平移区分于点的平移。 点的平移（上加下减）例：将点A（-2,6）向上平移3个单位得到（-2,9）， 将点A（-2,6）向下平移3个单位得到（-2,3）。 点的平移（左减右加）例：将点A（-2,6）向左平移3个单位得到（-5,6）， 将点A（-2,6）向右平移3个单位得到（1,6）。 （注：将点向上下平移时横坐标不变，将点左右平移时纵坐标不变。） ④二次函数图像的平移区分于直角坐标系的平移。 将直角坐标系向左(或右)平移几个单位就是将函数图像向右(或左)平移几个单位。 将直角坐标系向上(或下)平移几个单位就是将函数图像向下(或上)平移几个单位。 例：将y=2x2-3x+5所在的坐标系先向上平移2各单位，再向右平移3个单位后，现在的二次函数图像是：y=2(x+3)2-3(x+3)+5-2。 6、 求二次函数表达式的方法：（两点带入法/待定系数法） ①设一般式：y=ax2+bx+c，（a≠0） 条件：已知普通的两点坐标时，设一般式求二次函数表达式。 ②设顶点式：y=a(x＋h)2+k，（a≠0） 条件：已知二次函数图像的顶点坐标及一个普通点坐标时，设顶点式求二次函数表达式。 ③设两根式（交点式）：y=a（x-x1）（x-x2），（a≠0） 条件：已知二次函数图像与x轴的两个交点坐标及一个普通点坐标时，设两根式求二次函数表达式。 7、二次函数图像的翻折问题： ①将y=a(x＋h)2+k，（a≠0）的图像沿着y轴翻折，则函数图像与y轴的交点不变，顶点坐标中，横坐标变为相反数，纵坐标不变，对称轴变成相反数， 开口方向相反。此时二次函数的表达式为：y=a(x-h)2+k。 ②将y=a(x＋h)2+k，（a≠0）的图像沿着x轴翻折，则函数图像与y轴的 交点变成相反数，顶点坐标中，横坐标不变，纵坐标变为相反数，对称 轴不变，开口方向相反。此时二次函数的表达式为：y=-a(x＋h)2-k。 ③将y=a(x＋h)2+k，（a≠0）的图像绕原点旋转180°，则开口方向相反。 顶点横纵坐标都变成相反数，函数图像对称轴变成相反数，函数图像与 y轴的交点变成相反数。此时二次函数的表达式为：y=-a(x-h)2-k。 例：·与二次函数y=x2-6x+5的函数图像关于x轴对称的二次函数 图像表达式为： 。 ·与二次函数y=x2-6x+5的函数图像关于y轴对称的二次函数 图像表达式为： 。 ·与二次函数y=x2-6x+5的函数图像关于原点对称的二次函数 图像表达式为： 。 8、二次函数图像中的比较大小。 ①二次函数图像开口向上时，点的横坐标越靠近对称轴纵坐标越小，点的横坐标越远离对称轴纵坐标越大。 例：如图，A点坐标（a，y1）B点坐标（b，y2），