第三部分 26.2 二次函数的图象与性质-【假期成才路·寒假】2024-2025学年九年级数学复习与衔接（华东师大版）

第三部分新课预习 26.2 二次函数的图象与性质 26.2.1二次函数y=a.x2的图象与性质 典 例 精 析 知 识 梳 理 考点① 画二次函数y=ax的图象 【例1】在同一直角坐标系中，画出以下 1.二次函数y=a.x的图象与性质 函数的图象： (1)二次函数y=a.x的图象是一条 1 (10y=2x: (2)y=-2x2. (2)二次函数y=ax2的性质 图象 开口方向顶点坐标对称维 两数变化 最大（小）值 >0时5通 增大面增大： 当x=0时 = 规律与方法：函数y=a.x(a≠0)的图象是抛 <0时.y随7 爆本=0 物线，是关于y轴对称的轴对称图形.据此，可描出 增大面成小 y轴左（右）侧的点，再作它们关于y轴的对称点即 r>0时，y题 可.另外y=ax2和y=-a.r2的图象形状、大小分别 增大面议小： 当r=0时 相同，其中一条抛物线绕顶点旋转180°后，能与另一 <0时，y菌z 紧大=0 条抛物线完全重合 增大面塔大 考点②二次函数y=a.x2的性质 ★点拨：关于y轴对称的含义：点(x,y)与点 【例2】已知函数y=(m十3).xm+m+10是 (一x,y)均在抛物线上. 关于x的二次函数 (3)抛物线y=ax2开口大小由a决定，|a (1)求m的值： 越 ,抛物线的开口越窄；a越 (2)当m为何值时，函数有最大值？最大 抛物线的开口越宽， 值是多少？此时x在什么范围时，y随x的增 (4)二次函数y=a.x的图象画法 大而减小？ ①列表：先取原点(0,0)，然后在原点两侧 对称取点，左侧的点和右侧的点关于y轴对 称，即横坐标互为相反数时纵坐标相等， ②描点：根据坐标在直角坐标系中描出这 些点， ③连线：用平滑曲线顺次连接这些点， 2.求抛物线y=a.x的解析式 抛物线y=a.x中只有一个待定系数，因此 只要知道一个条件时便可确定α的值 ·39· 假期成才路·九年级数学(HS) 过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 规律与方法：函数y=ax(a≠0)的顶点坐标 是(0,0)当a>0时，在对称轴的左边(x<0),曲线 18m,求水深超过多少米时，就会影响过往船只 自左向右是下降的，y随x的增大而减小，在对称 在桥下顺利航行 轴的右边(x>0),曲线自左向右是上升的，y随x 的增大而增大，二次函数有最小值，这个最小值为 m 0:当a<0时，在对称轴的左边(r<0),曲线自左 向右是上升的，y随x的增大而增大，在对称轴的 右边(x>0),曲线自左向右是下降的，y随x的增 大而减小，二次函数有最大值，这个最大值为0. 【变式训练1】（常州中考）已知二次函数 y=(a-1)x2,当x>0时，y随x的增大而增 大，则实数a的取值范围是 ( A.a>0 B.a>1 规律与方法：二次函数为一种数学模型，能根 C.a≠1 D.a<1 据实际问题建立这种模型，再用它的图象和性质解 【变式训练2】已知y=(k+2)x+4是 决实际问题. 二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大 【变式训练3】北中环桥是省城太原的一 (1)求k的值： 座跨汾河大桥（如左图），它由五个高度不同， (2)直接写出顶点坐标和对称轴. 跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与 主梁相连，最高的钢拱如右图所示，此钢拱（近 似看成二次函数的图象—抛物线)在同一竖 直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A,B两 点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为 78米)，跨径为90米（即AB=90米），以最高 点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴 考点③列二次函数解决实际问题 建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数 表达式为 【例3】有一座抛物线拱桥，正常水位时， 桥下水面宽20m,拱顶距水面4m求： (1)如图的直角坐标系中，求出该抛物线 的解析式： (2)在正常水位的情况下，当水位上升hm 时，桥下水面宽为dm,求出用d表示h的函数 26 A.y 675 B.y=- 器 关系式； C.y 13 D.y= 13 (3)设正常水位时，桥下水深2m,为保证 1350x2 135i0x ·40✉ 第三部分新课预习 考点④二次函数与一次函数的综合运用 课 后演 练 【例4】如图，直线y=kx十b与二次函数 y=x交于P,Q两点，且与x轴交于M(2,0), 点P的横坐标为一2 【基础过关】 1.抛物线y=分，y=y=-子的共同性质 是：①都是开口向上：②都以点(0,0)为顶 点：③都以y轴为对称轴：④都关于x轴 求：(1)直线y=kx+b的解析式： 对称. (2)点Q的坐标； 其中正确的个数是 C.3 (3)不等式x2<kx十b中x的取值范围； A.1 B.2 D.4 (4)求P,Q与原点O围成三角形的面积. 2.已知抛物线y=a.x2(a>0)过A(-2, y1)、B