第5.5.2讲 简单的三角恒等变换-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第一册）

第五章 三角函数 第5.5.2讲 简单的三角恒等变换 一、学习目标 1.能利用和（差）角公式、二倍角公式等对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式 2.掌握辅助角公式，并利用三角恒等变换解决三角函数问题 二、重点难点 1、二倍角公式 2、三角恒等变换的化简、求值 3、三角恒等变换的恒等式证明 4、三角恒等变换的综合应用 三、核心知识 　倍角公式 1．角＋β＋40°与α＋2β＋80°是什么关系？ 提示：2倍． 2．在已学公式Cα＋β，Sα＋β，Tα＋β中，令α＝β，公式还成立吗？你能得到什么结论？ 提示：成立．sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2 α－sin2 α，tan 2α＝. 1．倍角公式 记法 公式 推导 S2α sin 2α＝2sin αcos α Sα＋βS2α C2α cos 2α＝cos2 α－sin2 α Cα＋βC2α cos 2α＝2cos2 α－1 cos 2α＝1－2sin2 α 利用sin2 α＋cos2 α＝1 消去sin2 α或cos2 α T2a tan 2α＝ Tα＋βT2α 2.常用升降幂公式 (1)升幂缩角变换． 1＋cos 2α＝2cos2 α，1－cos 2α＝2sin2 α． (2)降幂扩角变换． cos2 α＝(1＋cos 2α)，sin2 α＝(1－cos 2α)． 　半角公式 1．不查表求sin 22.5°和cos 22.5°的值． 提示：根据二倍角公式有cos2 α＝，sin2 α＝，从而有sin 22.5°＝＝，cos 22.5°＝. 2．试用α的三角函数表示sin ，cos ，tan . 提示：α是的二倍角，利用二倍角余弦公式求解．sin ＝± ，cos ＝± ，tan ＝± ，其中根号前的“±”号由所在象限确定． 半角公式 [点拨] 对“半角”的理解应是广义的，不能仅限于是α的半角，其他如α是2α的一半，是的一半，是3α的一半等，这里面蕴含着换元思想，半角是相对而言的，描述的是两个角之间的数量关系． 　积化和差与和差化积公式 1．能用cos(α＋β)，cos(α－β)表示cos αcos β及sin αsin β吗？ 提示：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.② 由①＋②得cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)] 由①－②得sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 2．能用sin(α＋β)，sin(α－β)表示sin αcos β及cos αsin β吗？ 提示：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. 类似1，得到sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 1．积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]， sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 2．和差化积公式 在积化和差公式中令则α＝，β＝，上述公式可改写为： cos x＋cos y＝2coscos， cos x－cos y＝－2sinsin ， sin x＋sin y＝2sin cos， sin x－sin y＝2cos sin ． 三、核心例题 题型1、二倍角公式 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 题型2、三角恒等变换的化简、求值 6．已知，则的值为 A． B． C． D． 7．已知函数，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A．－2 B．1 C．2 D．4 9．若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 10．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型3、三角恒等变换的恒等式证明 11．已知，求证：. 12．已知，求证. 13．求证：. 14．求证：＝tan. 15．证明下列恒等式. （1）； （2）. 题型4、三角恒等变换的综合应用 16．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的最小值及取得最小值自变量的值. 17．已知，为第二象限角． (1)求的值； (2)求的值． 18．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域． 19．