第5.5.1讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第一册）

第五章 三角函数 第5.5.1讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、学习目标 1.经利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，重点培养逻辑推理的核心素养． 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦和正切公式。 3.掌握公式的结构形式，并能利用公式进行化简、求值，重点提升数学运算核心素养． 二、重点难点 1、两角和与差的余弦 2、两角和与差的正弦 3、 两角和与差的正切 4、 求值、化简综合问题 三、核心知识 　两角差的余弦公式 1．当α＝60°，β＝30°时，cos α－cos β等于多少？cos 60°－cos 30°＝cos(60°－30°)成立吗？ 提示：cos 60°－cos 30°＝，cos(60°－30°)＝，故cos 60°－cos 30°＝cos(60°－30°)不成立． 2．单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？ 提示：A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β).与的夹角是α－β. 3．根据上图，分别利用平面向量数量积的定义及坐标运算，求出·的数量积各是什么？ 提示：①·＝||·||·cos(α－β)＝cos(α－β)． ②·＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 4．根据上面的计算可以得出什么结论？ 提示：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. Cα－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反． 　两角和的余弦公式 如何用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式？ 提示：cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β. Cα＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β． (1)适用条件：α，β都是任意角． (2)记忆口诀：“余余正正，符号相反”． [点拨] 比较公式Cα＋β和Cα－β，可得二者的结构特征： 知识点三 　两角和与差的正弦公式 1．如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？ 提示：sin(α＋β)＝cos＝cos[－β]＝coscos β＋sinsin β＝sin αcos β＋cos αsin β. 2．怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？ 提示：用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正弦 sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β Sα＋β 任意角 两角差 的正弦 sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β Sα－β 任意角 知识点四 　两角和与差的正切公式 1．怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ 提示：tan(α＋β)＝＝， 分子分母同除以cos αcos β，便可得到． 2．由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？ 提示：用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到． 1．两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 Tα＋β tan(α＋β)＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z)， tan α＋tan β≠1 两角差的正切 Tα－β tan(α－β)＝ α，β，α－β均不等于 kπ＋(k∈Z) tan α＋tan β≠－1 2.两角和与差的正切公式的变形 (1)Tα＋β的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． tan αtan β＝1－． (2)Tα－β的变形： tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)． tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)． tan αtan β＝－1． 三、核心例题 题型1、两角和与差的余弦 1．已知，则a的值为（    ） A． B． C． D． 2．计算的值（    ） A． B． C． D． 3．（ ） A． B． C． D． 4．（    ） A． B． C． D． 5．化简的值为（　　） A．1 B．－1 C．0 D．cos θ 题型2、两角和与差的正弦 6．的值为（    ） A． B． C． D． 7．（    ） A． B． C． D． 8．（    ） A． B． C