3.2.1单调性与最大(小)值课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的基本性质 ——单调性与最大(小)值 学习目标 1. 理解函数单调性的性质. 2.掌握判断函数单调性的一般方法. 课前自主学案 温故夯基 增大 上升的 抛物线 增大 下降的 上升的 减小 减小 增大 知新益能 上升 下降 增函数或减函数 单调区间 问题探究 1.在增、减函数定义中,能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”? 提示:不能.如图所示. 课堂互动讲练 考点突破 考点一 用定义证明(判断)函数的单调性 依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤有: (1)取值;(2)作差变形;(3)定号;(4)判断. 例1 考点二 求函数的单调区间 根据函数的图象写出函数的单调区间,主要是观察图象,找到最高点与最低点的横坐标,便可得到一个单调区间,由图象的上升或下降的趋势,确定出是递增还是递减的区间. 例2 考点三 根据函数的单调性确定参数 例3 考点四 利用函数单调性解不等式 例4 方法感悟 失误防范 谢 谢 1.初中学习过一次函数、二次函数.还记得函数f(x)=x的图象特征吗?自左向右,图像上是_,即函数值随x的增大而_.函数f(x)=x2的图象是_,而且其图象在区间(-∞,0]内是_,即函数值随x的增大而_;在区间(0,+∞)内是_,即函数值随x的增大而_. 2.反比例函数y=eq \f(1,x)在(0,+∞)内的图象随x的增大y值_,在(-∞,0)内的图象随x的减小y值_. 1.增函数与减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当_时,都有_,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(increasing function).反映在图象上,由左至右,图象连续_; x1<x2 f(x1)<f(x2) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当_时,都有_,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(decreasing function).反映在图象上,由左至右,图象连续_. x1<x2 f(x1)<f(x2) 2.单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是_,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的_. 虽然f(-1)<f(2),但f(x)在[-1,2]上并不递增. 2.能说f(x)=eq \f(1,x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数吗? 提示:若认为减区间为(-∞,0)∪(0,+∞)时.取x1∈(-∞,0),取x2∈(0,+∞),则x1<x2,如果认为y=eq \f(1,x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的减函数,则有f(x1)>f(x2),而事实上f(x1)<f(x2).两者相矛盾,故单调区间不能用“∪”合并. 证明:函数y=x+eq \f(9,x)在(0,3]上递减. 【思路点拨】 eq \x(取值) eq \x(作差) eq \x(变形) eq \x(判断符号) eq \x(得结论) 【证明】 设0<x1<x2≤3, 则有y1-y2=(x1+eq \f(9,x1))-(x2+eq \f(9,x2)) =(x1-x2)-eq \f(9 x1-x2 ,x1x2) =(x1-x2)(1-eq \f(9,x1x2)). ∵0<x1<x2≤3, ∴x1-x2<0,eq \f(9,x1x2)>1, 即1-eq \f(9,x1x2)<0, ∴y1-y2>0,即y1>y2, ∴函数y=x+eq \f(9,x)在(0,3]上递减. 【名师点拨】 在证明函数单调性时,x1,x2是从相应区间上任取的两个值,它可以代表区间中的每一个数,所以在证明时,不能用特殊值来代替.在“作差变形”的过程中,尽量化成几个最简因式的乘积,也可以把其中的因式化成几个完全平方式的和的形式,以方便判断因式的正负号. 互动探究1 本例中的函数在[3,+∞)上单调性怎样?画出在(0,+∞)上的大致图象. 解:设3≤x1<x2,则 y1-y2=x1+eq \f(9,x1)-x2-eq \f(9,x2) =(x1-x2)(1-eq \f(9,x1x2)), ∵3≤x1<x2, ∴x1-x2<0,eq \f(1,x1x2)<eq \f(1,9), ∴1-eq \f(9,x1x2)>0, ∴y1-y2<0,即y1<y2, ∴函数y=x+eq \f(9,x)在[3,+∞)上递增,在(0,+∞)的大致图象如图所示. 画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出函数的单调区间. 【思路点拨】 eq \x(化简函数解析式) eq \x(画出函数图象) eq \x(确定单调区间) 【解】 y=-x2+2|x|+3 =eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(-x2+2x+3=- x-1 2+4 x≥0 ,-x2-2x+3=