瓜豆原理 讲义2023年九年级数学中考复习

瓜豆原理（最值） 1. 模型解密 （I） 线形轨迹 例1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 分析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值（即点Q在平行于BC的直线上——平行线间的距离处处相等），故Q点轨迹是一条直线． 例2：如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 分析：AP与AQ夹角固定，且AP：AQ为定值，则说明P、Q轨迹是同类图形 ① 由题意得：P的运动轨迹为直线，则Q的运动轨迹也是直线，那么如何来确定Q的轨迹呢？ ② 当确定轨迹是直线（或线段）的时候，可以根据两点确定一条直线来确定：任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 （II） 线形轨迹相关结论 P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角） P、Q两点轨迹长度之比等于AP：AQ （由△ABC∽△AMN，可得AP：AQ=BC：MN） （III） 圆形轨迹 例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ：AP=1：2； 则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半 例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径． ① 由于AP⊥AQ，则考虑过A点作AM⊥AO且使AM=AO，可得任意时刻均有△APO≌△AQM． ② 且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置， 例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP：AQ=2：1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． （IV） 圆形轨迹相关结论 1、 主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM； 2、 主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比． 1. 实战训练 1、 正方形ABCD的边长为1，E为边BC上动点，将AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，M为DE的中点，连接MF，则MF的最小值为________. 【答案】 【思路】方法一：应用瓜豆原理得到F点的轨迹，利用三垂直模型可得F点在射线CF上，∠FCB=135°，构造Rt△MPF求PF长即可解答．方法二：将AE绕E点顺时针旋转90°，得线段EF，因为E是边BC上的动点，故F是一条线段的动点，利用三垂直模型可得F点在射线CF上，∠FCB=135°，构造Rt△MPF求PF长即可解答．方法三：构造一线三直角模型，建立直角坐标系，运用两点间的距离公式，用二次函数思想确定最小值即可． 2、 如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．1.5 .5 3、 如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．π 4、 如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值为_________ 方法不唯一（思维发散） 5、 △ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________． 瓜豆 VS 托勒密不等式 6、 点A是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一交令一分支点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为________________ 7、 如图，A（－1，1），B（－1，4），C（－5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰