专题11 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题11 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.阿基米德折弦模型 【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 常见证明的方法： 1）补短法：如图2，如图，延长DB至F，使BF=BA； 2）截长法：如图3，在CD上截取DG=DB； 3）垂线法：如图4，作MH⊥射线AB，垂足为H。 例1．（2023·广东·统考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC． 如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °． 例2．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BCAB)，点M是上的点，MD⊥BC于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM=，AB=4，则AE的长为(    ) A． B． C． D． 例3．（2023·江苏·九年级假期作业）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理 阿拉伯（973年～1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和．∵是 的中点，∴…    任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图（3），已知等边△ABC内接于为圆上一点，，与点，则的周长是　　． 例4．（2023·江苏·九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． （1）证明：如图2，在上截取，连接和． ∵M是的中点，∴……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 实践应用：（2）如图3，已知内接于，，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为　　．（3）如图4，已知等腰内接于，，D为上一点，连接，，于点E，的周长为，，请求出的长．    例5．（2023·江苏·九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． (1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，C是劣弧的中点，直线于点E，则．请证明此结论； (2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．C是劣弧的中点，直线于点E，则．可以通过延长、相交于点F，再连接证明结论成立．请写出证明过程； (3)如图3，，组成的一条折弦．C是优弧的中点，直线于点E，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．    模型2.婆罗摩笈多（定理）模型 【模型解读】婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家。 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点。 图1 图2 图3 如图1，ABCD为圆内接四边形，对角线AC和BD垂直相交，交点为E，过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD交于点G；则点G是AD的中点。 如图2，所示已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，作BH//AE交AG的延长线于点H，（1）S△ACD=S△ABE；（2）若AF⊥CD，则G为BE中点。 2、如图3，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△