专题09 相似三角形的证明与计算50道大题专训-2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题09 相似三角形的证明与计算50题大腿专训 【精选2023年江苏地区最新考试题型专训】 【相似大题】 1．（2023上·江苏常州·九年级统考期中）如图，在中，，是上的一点，且． (1)用直尺和圆规在图中作，使得点O在上，且经过C，两点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，解答下列问题： ①判断直线与的位置关系，并说明理由； ②若的半径是3，，求的长． 2．（2023上·山西临汾·九年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的面积． 3．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）点E为线段上一点，分别以，为底边，在同侧作等腰三角形和，且．连接，过点作交线段于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，若，，，求的长． 4．（2023上·海南海口·九年级校联考期中）如图，在正方形中，点是边上一点(不与点，重合)，且，交边于点．    (1)求证： ①； ②； (2)若，求证：． 5．（2023上·四川成都·九年级成都七中校考期中） （1）如图1，矩形，，，点为边上一动点，，且，求． （2）如图2，矩形，点为对角线上一动点，连接，作，交的延长线于点，连接． ①求证：； ②若，探索四边形的形状，并说明理由． 6．（2023上·河南郑州·九年级郑州市第五十二中学校考期中）如图（1），已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F．    (1)证明与推断： ①求证：四边形是正方形； ②推断：的值为______； (2)探究与证明：将正方形绕点C顺时针方向旋转a角（），如图（2）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用：正方形在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长交于点H．若，，则______． 7．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图1，正方形的对角线交于点O，将绕点O逆时针旋转得到（旋转角为锐角），连接，则． (1)如图2，若题干中的正方形为矩形，其他条件不变． ①探究与的数量关系，并证明你的结论； ②若，求的长； (2)如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且，请直接写出的长． 8．（2023上·福建三明·九年级统考期中）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题： 将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部； ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明． ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，求的长． 9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）（1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边上，，垂足为点G．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，，求的长． 10．（2022上·江西鹰潭·九年级校联考期中）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°．AD＝4.点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°）．如图2，在旋转过程中． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)当时，与交于点，求的长． 11．（2023上·广西·九年级校考期中）【探究与应用】 问题：如图①所示，是的角平分线．求证：．    【解决问题的方法】（1）善于思考的小安发现：过点作交的延长线于点，如图②，通过证三角形相似，可以解决问题．请证明：． 【应用提升】（2）请你利用上述结论，解决下列问题： 如图③，在四边形中，，平分，于点，于点，与相交于点，求的值． 12．（2023上·河南周口·九年级统考期中）综合与探究 已知四边形是正方形，是边上的一点，是上的点，是等腰直角三角形，． (1)如图1，连接，若． ①求的度数； ②连接，求证：． (2)若是的中点，是射线上一点，如图2，，当与正方形的对角线平行时，直接写出的长． 13．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究： 在中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程； (2)如图2，当，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； (3)请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论