5.5.2简单的三角恒等变换（第1课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第 5章 三角函数 5.5.2简单的三角恒等变换（第1课时） 例7.试以表示 (提示：与有什么关系？) 解：是的二倍角.在倍角公式中， 以代替，以代替，得： ∴① 在倍角公式中， 以代替，以代替，得： ∴② ∴将①②两个等式的左右两边分别相除，得： 例8.求证： (1) 证明：(1)因为 将以上两式的左右两边分别相加，得： 即 思考1：这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？ 例8.求证： (2) 证明(证法一)：(2)由(1)可得 ① 设那么 把的值代入①，即得 . 思考2：如果不用(1)的结果，如何证明？ 例8.求证： (2) 证法二：∵ ∴ 例8.求证： (1) 积化和差 (2) 和差化积 例8的证明用到了换元的方法.如把看作看作从而把包含的三角函数式转化成的三角函数式.或者，把看作看作把等式看作的方程，则原问题转化为解方程(组)求它们都体现了化归思想. 课本练习 4.求证: 4.求证: 4.求证: 证明： 5.求证: 5.求证: 将它们代入①可得： 证明： ① 换元思想 随堂检测 例9.求下列函数的周期，最大值和最小值： (1) 解：(1) 因此，所求周期为最大值为，最小值为. 思考3：你能说一说这一步变形的理由吗？ 辅助角公式： 其中，所在象限由和的符号确定. 例9.求下列函数的周期，最大值和最小值： (2) 解：(2)设则 于是 于是所以 取则 由可知，所求周期为最大值为，最小值为. 例10.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积. 解：在中， 在中， 所以 设矩形的面积为，则 例10.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积. 解： 由得 所以当即时， 因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 由例9、例10可以看到，通过三角恒等变换，我们把转化为的形式，这个过程蕴含了化归思想. 课本练习 随堂检测 28 证明： 1.求证： . 2.已知 试求 和 的值. 3.已知等腰三角形的顶角的余弦等于 ，求这个三角形的一个底角的正切． 解：设等腰三角形的顶角为 ，则 ，底角为 ， 【解析】　由题意知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cos eq \f(α,2)>0， cos eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cos α,2))＝eq \f(\r(30),6). 【答案】　C 1．若cos α＝eq \f(2,3)，α∈(0，π)，则cos eq \f(α,2)的值为(　　) A．eq \f(\r(6),6)　　　　　 B．－eq \f(\r(6),6) C．eq \f(\r(30),6) D．－eq \f(\r(30),6) 【答案】　A 2．已知cos α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，则sin eq \f(α,2)等于(　　) A．eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5) C．eq \f(4,5) D．eq \f(2\r(5),5) 【解析】　由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，∴sin eq \f(α,2)>0，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cos α,2))＝eq \f(\r(5),5). 【答案】　C 3．已知sin α－cos α＝－eq \f(5,4)，则sin 2α的值等于(　　) A．eq \f(7,16) B．－eq \f(7,16) C．－eq \f(9,16) D．eq \f(9,16) 【解析】　由sin α－cos α＝－eq \f(5,4)， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝eq \f(25,16)，所以sin 2α＝－eq \f(9,16). 【答案】　π 4．函数y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cos2x的最小正周期为________． 【解析】　∵y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cos2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cos 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)， ∴函数的最小正