数列与不等式讲义-2024届高三数学二轮专题复习

开州中学高2023级高三数学（理科）第二轮 第三章 数列与不等式 ( 思路提示 ：1.等差数列于等比数列的相互转化问题，等差数列通过指数运算转化成等比数列，正项等比数列通过对数运算转化成等差数列。 2.等差数列于等比数列的交汇问题，尤其体现在对等差数列与等比数列的定义的理解与基本量的求解两方面。 )核心考点一：等差数列于等比数列的综合 ： 回归复习： 1.等差数列与等比数列的相互转化问题 例：设是公比大于1的等比数列，为数列的前n项和.已知=7，且 构成等差数列。（1）求数列的通项； （2）令n=1，2，…，求数列的前n项和。 变式1：已知数列和是各项均为正数的等比数列，设。 （1） 数列是否为等比数列？证明你的结论； （2） 设数列和的前n项和和.若，求数列的前n项和。 2.等差数列与等比数列的交汇问题 例：已知集合。 （1） 证明：不存在x∈A，y∈A，使得1，x，y依次既是一个等差数列的前三项，又是一个等比数列的前三项； （2） 是否存在x∈A，y∈A，使得1，x，y依次既是一个等差数列的第r，s，t,项，又是一个等比数列的第r，s，t,项，证明你的结论. 变式1：已知数列是公差为d的等差数列，数列是公比为q的等比数列. （1） 若，是否存在，有？说明理由 （2） 找出所有数列和，使对一切，？说明理由 变式2：数列的前n项和，且满足 （1） 求数列的通项公式； （2） 若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的， 且m≥2，是否成等差数列，并证明 核心考点二：数列的求和 ( 思路提示 ： 求数列前n项和 的常见方法： ① 公式法； ② 裂项相消法； ③ 错位相减法； ④ 倒序相加法； ⑤ 分组求和法； ) 回归复习：1.裂项相消法：常见变换 ①分式裂项：； ②根式裂项： ③对数式裂项： ④指数式裂项：（且） ⑤正切差角公式列项： 例：已知，点在的图像上，记，求数列的前n项和. 变式1：等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前n项和. 2.错位相减法：求数列和的前n项和，数列为别为等差数列与等比数列.求和时在求和式的两边乘以公比q后，与原数列的和作差，即然后求。 例：设，令 （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和。 3.倒序相加法：应用于等差数列或转化为等差数列性的数列求和。 例：已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，求的值 4.分组求和法： 数列为等差与等比的代数和或奇数项与偶数项的规律不同，根据其表现形式分别求和。 例：已知数列中的相邻两项是关于x的方程的两个根，且.（1）求； （2）求数列的前2n项的和。 变式1： （2）求数列的通项公式； （3）设，证明：。 核心考点三：数列与不等式的综合 ( 思路提示 ： 数列与不等式的综合是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：一、不等式恒成立条件下，求参数的取值范围；二、不等式的证明，常见方法有比较法、构造辅助函数发、放缩法、数学归纳法等。 ) 回归复习： 1.不等式恒成立条件下，求参数的取值范围问题：利用等价转化思想将其转化为最值问题， 恒成立恒成立 例1： 变式1：已知函数记在区间[0，n](n∈N*)上的最小值为，令 ，如果对一切n，不等式恒成立，求实数 C的取值范围 变式2： 1,2,3…m)求数列{an}的前m项和； （3）设数列满足：，设 若（2）中的满足对任意不小于3的正整数n，恒成立，求m的最大值 变式3： 例2：证明不等式 变式1：证明不等式： 变式2：已知函数各项都小于0的数列满足 （1）求证： （2）求证： 例3：已知，求证： 变式1：已知求证： 变式2：等比数列的前n项和，已知对任意的，点（n，）均在函数 且b≠1，b，r均为常数）的图像上。（1）求r的值； （2）当b=2时，记.求证：对任意的不等式 成立。 变式3：已知各项均为正数的数列的前n项和＞1，且 （1）求的通项公式； （2）设数列满足，并记为的前n项和，求证： 例4：设b>0，数列满足. 证明：对于一切正整数n， 变式1：已知数列与满足：， 且。（1）求的值； （2）设，证明：是等比数列； （3）设，证明： 变式2：已知数列满足 （1）求；（2），是的前n项和，求证： 变式3：已知函数数列满足， 求证：都有 变式4：数列中，，（1）求数列的通项公式； （2）设，若数列的前n项和，求证 变式5：在数列和中，，且成等差数列，成 等比数列 （1）求及，由此猜测，的通项公式，并证明； （2）证明： - 11 - 学科网（北京）股份有限公司 $$