27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（讲+练，九大题型）-【划重点】 2023-2024学年九年级数学下册同步讲与练 (沪教版)

27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1.经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程，体会利用旋转来研究圆的性质 2.理解圆心角的概念,掌握圆心角定理 3.理解1的弧的概念,明确圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系 4.掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用它们之间的相互关系解决简单的几何问题 知识点一 圆心角、弧、弦、弦心距等的概念 名称 内容 特别说明 图示 圆心角 以圆心为顶点的角.如图1中的∠AOC 没有特别说明时，本章中的 圆心角通常是指大于0°且 小于180°的角 图1 图2 弦 联结圆上任意两点的线段.如图2中弦AB 直径 过圆心的弦.如图1中AB 圆的直径是弦 圆弧 圆上任意两点之间的部分，简称弧.如图1中弧AC,记作AC 半圆 圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条 弧都叫做半圆.如图1中半圆AB 半圆所对的圆心角是一个 平角 优弧 大于半圆的弧.如图1中 劣弧 小于半圆的弧.如图1中 弦心距 圆心到弦的距离，即圆心到弦的垂线段的长.如图2,垂线段OC的长是弦AB的弦心距 弦心距是“距离”,可通过从圆心作弦的垂线段将弦心距用图形表示出来，表述“这一垂线段表示弦心距” 等弧 能够重合的两条弧 “两条弧相等”是指“两弧能够重合”,而不仅仅指两条弧的长度相等 等圆 半径长相等的两个圆，即能够重合的两个圆 等圆可看作同一个圆移动到不同的位置时的图形 注意： (1) “等弧”是指能够重合的弧，只有在同圆或等圆中才有等弧.因为在一个圆中一条弦所对的弧有两条,所以由“弦相等”得出“弧相等”,这里的“弧相等”指的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与优弧相等 (2) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉这个前提,即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图所示，两个圆的圆心相同，与对应同一个圆心角，但≠，≠. 即学即练1如图，在中，弦与弦相交于点E，且．    求证：． 知识点二 圆的旋转不变性 1.圆具有旋转不变性 由于圆上所有的点到圆心的距离都相等，因此把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合 2.中心对称图形 在平面内，把一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心. 注意： 圆中的概念辨析 (1)直径与弦的关系：直径是弦，且是圆中最长的弦，但弦不一定是直径； (2)等弧的概念：等弧不只是指两条弧的长度相等，而是指两条弧能够重合，即长度相等的两条弧不一定是等弧； (3)半圆与弧的关系：半圆既不是劣弧也不是优弧，半圆是弧，但弧不一定是半圆. 知识点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论 1.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 2.推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等. 注意： 在应用圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论解决问题时， 一定要注 意“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则结论不一定成立. 3.1°的弧 在一个圆中,我们把1°圆心角所对的弧叫做1°的弧 4.圆心角度数与它所对弧的度数的关系 n°的圆心角所对的弧就是n°的弧 (1)相等的弧(即能够重合的弧)与度数相等(或长度相等)的弧的含义是不同的，只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧才是等弧，即等弧一定有相同的度数且等弧必须在同圆或等圆中存在,而相同度数的弧不一定是等弧. (2)圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,不能写成∠AOB=,正确写法是∠AOB的度数等于的度数. 即学即练1有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （1） 半圆既不是优弧，也不是劣弧. （2） 等弧必须具备两个条件，一是两弧所在圆的半径相等,二是弧的长度相等， 只有在同圆或等圆中才存在等弧,在大小不等的两个圆中不存在等弧，因此在判断两弧是否为等弧时，首先要看两弧所在的圆是否为同圆或等圆,然后再看弧的长度是否相等 即学即练2 如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD，BC于F，G，延长BA交圆于E．求证： =． 知识点四 圆周角、圆周角定理及其推论 1.圆周角必须满足的两个条件 (1)角的顶点在圆上； (2)角的两边都与圆相交. 如图,∠BAE、∠BDC 都是圆周角. 2.圆周角定理： 一条弧所对的圆