5.5.1两角和差的正弦、余弦和正切公式(第1课时)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 第1课时 两角差的余弦公式 知识探究 y x o 问题：根据任意角α，β的正弦、余弦，你能推出α-β的余弦吗? 思考1：当α≠ β+2kπ 时，设单位圆与x轴的正半轴交于A(1,0), 以x 轴的非负半轴为半轴为始边，作出角α，β，α-β分别与单位圆交于P1, A1, P，则它们的坐标分别是多少？ 由三角函数的定义得 思考2：连接A1P1，AP，若把扇形OAP绕着O点旋转β，你能得到什么结论，根据是什么？ 根据圆的旋转对称性得 圆的旋转对称性： 任意一个圆绕着圆心旋转任意角度后，都与原来重合. 思考3：我们知道了 A1、P1、A和P的坐标，而 A1P1= AP，由此你能推导出什么？ 思考4：当α = β+2kπ 时，上式成立吗? 说明： (1)公式的特点： 两边的符号相反;右边的积的函数同名， 且余弦在前正弦在后. 两角差的余弦公式 思考4：观察这个等式，说说它有何特点？ 思考5：此公式的证明过程是怎样的？ (2)公式的推导过程： 第1步，标出问题中所涉及到的量； 第2步，利用三角函数，写出各点坐标； 第3步，根据圆的旋转对称性，得到AP=A1P1； 第4步，代入两点间的距离公式，得出两角差的余弦公式. 返回 例 析 练习 一般化为特殊角 先求出 cosα 和 sinβ. 例 析 思考：根据公式C(α-β) 和已知条件，要求cos(α-β)，首先需要干什么？ 从角之间的关系入手. 未知结论中的 “ 角β ” 与已知条件中的两个角 “ α ” 和 “ α+β ” 具有如下关系： 思考：你认为本题应从什么地方入手？ 已知表未知 第1步，确定解题需用哪个公式，如公式C(α - β). 第2步，观察题目的条件和要求的结论，看是否需要对未知结论进行变形，如角的变形； 第3步，根据公式和题目条件，看还差哪些值，需作什么准备； 第4步，由以上方案，先求值，再代入，再解决问题. 思考1：通过以上例题，请你说说应用这类公式的程序是怎样的？ 思考2：还记得角的变换有哪些思路吗？ 利用角与角之间的和、差、倍、分关系进行： (1)已知表未知. 用已知条件中的角将未知结论中的角表示出来 (2)一般化特殊. 将一般角用特殊角表示出来 (3)异角化同角. 把不同的角尽可能化为相同的角 三角变换中角的变换 返回 练习 思考：你还能想到其它解法吗？ 1.两角差的余弦公式C(α-β)是怎样的，公式有何特点，是如何证明的? 2.在运算两角差的余弦公式时，注意哪些问题，你能举例说明吗？ 小 结 一是同角三角函数间的关系中平方关系的正确运用，特别是开方时正负的取舍. 二是角的变换问题(配角). 如 用已知条件中的角将未知结论中的角表示出来(已知表未知); 将一般角用特殊角表示出来(已知表未知). 三是公式的逆用。 知识探究 于是得到两角和的余弦公式，简记为C(α+β) 两边的符号相反，右边的积中函数同名， 且余弦在前正弦在后. 于是得到两角差的正弦公式，简记为S(α-β) 两边的符号相同，右边的积中的函数异名， 且正弦在前余弦在后. 于是得到两角和的正切公式，简记为T(α+β) 右边的是一个分式，分子的运算符号与左边相同，分母的运算符号与左边相同. 同理或者由公式T(α+β)可得到两角差的正切公式，简记为T(α-β) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 返回 例析 解： 思考1：你还能说出应用公式的解决问题的程序吗？ 第1步，确定解题需用哪个公式. 第2步，观察题目的条件和要求的结论，看是否需要对未知结论进行变形； 第3步，根据公式和题目条件，看还差哪些值，需作什么准备； 第4步，由以上方案，先求值，再代入，再解决问题. 返回 解： 解： 练习 解： 简析 解： 例析 解： (1)和角公式、差角公式的逆用可以对三角函数式进行化简； (2)若不能直接运用公式，应对照公式对角和三角函数进行变形。 简析 练习 1.请回顾 一下两角和、差的正弦、余弦、正切公式是怎样的? 2.你能说说两角和、差的正弦、余弦、正切公式的推导路径吗? 小 结 3.应用公式的解决问题的程序是怎样的？ 复习与回顾 1.请回顾 一下两角和、差的正弦、余弦、正切公式是怎样的? 返回 2.你能说说两角和、差的正弦、余弦、正切公式的推导路径吗?