专题12 相似三角形模型（旋转型）专项训练-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（广东专用）

专题12 相似三角形模型（旋转型）专项训练 基本模型 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com] ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 例题1：（基本三角形）（2023上·广东深圳·九年级期中）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结．    (1)如图1，若，点关于直线的对称点为点，连结，，则　 　； (2)若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； (3)如图3，若，且．试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 例题2：（直角三角形）（2023上·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考阶段练习）（1）如图1，在中，，，，点D、E分别在边CA，CB上，且，，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是什么？请说明理由. （2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. （3）将绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，求CF的长. 例题3：（矩形）（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图1，在矩形中，，点是对角线上任意一点，连接，过点作，且，连接． (1)证明：． (2)四边形可能为矩形吗？如果可能，求出此时四边形的面积，如果不可能，请说朋理由； (3)如图2，作，垂足为，当点从点运动到点时，直接写出点运动的距离． 例题4：（双等腰）13．（2022上·广东深圳·九年级校联考期中）【模型发现】如图 1，，求证：． 【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长． 【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______．    1．（2022上·广东江门·九年级统考期末）如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形绕点B按顺时针方向旋转，连接．    (1)求证：； (2)在正方形绕点B按顺时针方向旋转的过程中，的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 2．（2022上·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）数学小组在探究题目：矩形中，，点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F．如图（1），当时，求证：； (1)小明在实验操作过程中发现：如图，在上截取，连接．构造三角形的全等可以解决问题．请帮助小明画好辅助线完成证明过程． (2)【类比探究】如图（2），当时，求的值（用含k的式子表示）； (3)【拓展运用】如图（3），当时，P为边上一点，连接，，，，求的长． (4)【拓展延伸】如图（4），当题目变为：平行四边形中，，，点E是边的中点，连接，过点E作，与平行四边形的外角平分线交于点F．则的值__________（用含k的式子表示）； 3．（2022上·广东惠州·九年级校考阶段练习）【问题情境】 在中，，，点为直线上一动点（不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角为，连接．    (1)【特例分析】 当，点在线段上时，过作交直线于点，如图，易得图中与全等的一个三角形是 ， ．    (2)【拓展探究】 当点在延长线上，时，如图，试求线段与的比值．    (3)【问题解决】 当点在直线上，，，时，请直接写出线段的长． 4．（2023上·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考阶段练习）已知在中，，，，为边上的一点．过点D作射线，分别交边、于点、． 问题发现    （1）如图1，当为的中点，且，时，______； （2）若为的中点，将绕点D旋转到图2位置时，______； 类比探究 （3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程； 问题解决 （4）如图3，连接，当______时，与相似． 5．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）综合应用： 如图，已知四边形是矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，___________°，_____________； (2)当时，求t的值； (3)在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 6．（2023·广东佛山·统考二模）【课本再现】    (1)正方