专题11 相似三角形模型（K字型）专项训练-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（广东专用）

专题11 相似三角形模型（K字型）专项训练 基本模型 “一线三等角”模型：如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 例题1：（基本模型）（2022上·广东佛山·九年级校考期中）【感知】 如图①，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），． 易证：（不要求证明）． 【探究】 如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． (1)求证：． (2)若，则的长为_____________． 【应用】 如图③，在中，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作与边交于点E． (3)当时，求的长． (4)当是等腰三角形时，直接写出的长． 例题2：（培优综合）（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知正方形 和正方形 ，连接 交 于点 ，点 是 的中点，过点 作 于 ，，． (1)如图1，点 ，， 在同一直线上，点 在 边上，求 的长； (2)把正方形 绕着点逆时针旋转 ． ①如图2，当点落在上时，求的长； ②如图3，当时，求的长． 例题3：（与反比例函数综合）（2023·广东深圳·校联考二模）（一）、问题背景： 数学活动课上，老师拿出一个由五连格边长为1的正方形连成的L形教具，将它放入一个的直角三角形中，，，如图1顶点D，E，F，G刚好落在三边上，请求出此直角三角形的面积． （二）、问题提出与解决：（以下问题二选一解答） （1）小颖同学受到启发，将此教具放入如图的直角坐标系中，顶点A，B，C分别落在坐标轴上，提出问题：如图2，如果反比例函数图像经过顶点D，试求出反比例解析式． （2）小明同学也受到启发，画了一个圆，如图3，将此教具放入圆内，使圆经过其顶点A，B，C，提出问题：怎么算出圆的面积? 例题4：（与二次函数综合）（2022·广东佛山·三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D． (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标． 1．（2023·广东广州·统考一模）已知：中，， (1)尺规作图：求作的中点，连并延长，交于点（保留作图痕迹，不写作法） (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求的余弦值． 条件①：和的面积为和，且； 条件②：和的周长为和，且． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 2.（2022上·广东深圳·九年级统考期末）如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，与交于点G（4，3）． (1)当点D恰好是中点时，求此时点C的横坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，将沿折叠，点G恰好落在边上的点H处，求此时反比例函数的解析式． 3．（2022上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，点G为边上一点，过点G作，且，交于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长． 4．（2023上·广东深圳·九年级校联考期中）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 5．（2023上·广东深圳·九年级红岭中学校考阶段练习）【问题背景】 （1）如图1，在中，，于，求证：；    【变式迁移】 （2）如图2，已知，为上一点，且，若，求的值；    【拓展创新】 （3）如图3，四边形中，，，为边上一点，且，，直接写出的值．    ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 相似三角形模型（K字型）专项训练 基本模型 “一线三等角”模型：如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△A