6.1 平面向量的概念 讲义——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.1 平面向量的概念 1、数量的定义： 只有大小没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等）称为数量。 2、向量的定义： 我们把既有大小又有方向的量叫做向量。 3、要点诠释： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。 ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。 ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。 4、有向线段： 具有方向的线段叫做有向线段。有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。 5、向量的表示方法： ①字母表示法：如等（印刷用黑体）。 ②几何表示法：用一条有向线段表示向量。如以为起点、为终点的有向线段记作（注意始点一定要写在终点的前面）。线段的长度也叫做有向线段的长度，记作。 ③坐标表示法：在平面直角坐标系中，我们设向量的起点为在坐标原点，终点坐标为，则称为的坐标，记为。 6、向量的模、零向量、单位向量： 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作。 长度为的向量叫做零向量，记作。零向量只有一个，其方向是任意的。 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量。 7、要点诠释： ①向量的模。 ②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小。 8、平行向量、共线向量： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。 我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有。所以向量不具有平行的传递性。 9、相等向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 相反向量：我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定。 共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量。 【题型1】平面向量的基本概念 1．下列物理量中，不是向量的是（    ） A．力 B．位移 C．质量 D．速度 2．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(    ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 3．对下面图形的表示恰当的是（    ）．    A． B． C． D． 4．下列各式中不表示向量的是（　　） A． B． C． D．，，且 【题型2】向量的模 1．下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 2．数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，，分别是的边，的中点，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型3】零向量与单位向量 1．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 2．已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．设、分别是与、同向的单位向量，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 4．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（    ） A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④ 【题型4】相等向量与共线向量 1．若向量与向量不相等，则与一定（　　） A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量 2．下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意非零向量共线 3．关于向量，，下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 【题型5】向量的几何表示 1．一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C点