27.2 相似三角形-【高分突破系列】2023-2024学年九年级数学下册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第二十七章 相似 27.2 相似三角形 1 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如下图，任意两条直线，与三条平行线相交，都有. 2 相似三角形的概念 两个三角形中三个角分别相等，三条边成比例，则这两个三角形相似. 如下图，两个三角形中，，，， 则与相似，相似比为，相似用符号“”表示，读作“相似于”， 与相似记作“”. 3 相似三角形的判定 ① 三边成比例的两个三角形相似； ② 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③ 两角分别相等的两个三角形相似. 4 相似三角形的性质 ① 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比与周长比都等于相似比. ② 相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 【题型1】 平行线线段成比例 【典题1】 如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的长是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【典题2】如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若AD＝3AF，则　　． 【巩固练习】 1.如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE等于(　　) A．9 B．4 C．6 D．3 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，AE＝3，BE＝2，CF＝4，则线段CD的长为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 3.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交l1、l2、l3于点D、E、F，已知，若DE＝3，则DF的长是(　　) A． B．4 C． D．7 4.如图，在△ABC中，DE∥BC，G为BC上一点，连接AG交DE于点F，已知AF＝2，AG＝6，EC＝5，则AC＝　　． 5.如图，已知在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，且相交于点F，过点F作FG∥AC，那么＝　　． 6.在△ABC中，M，N分别是BC，AC边上一点，连接AM，BN交于点P，若BM：CM＝2：3，AN：CN＝1：4，则AP：MP＝　 　． 【题型2】相似三角形的性质 【典题1】如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝5：3，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是(　　) A． B． C． D． 【典题2】如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于(　　) A． B．10 C．或10 D．以上答案都不对 【巩固练习】 1.已知△FHB∽△EAD，它们的面积分别为60和15，且FH＝6，则EA的长为(　　) A．1.5 B．3 C．12 D．24 2.如图，，AD和分别是△ABC和的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与的面积的比为(　　) A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2 3.如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(　　) A．AB2＝BC•BD B．AB2＝AC•CD C．AB•AD＝BD•BC D．AB•AD＝AD•CD 4.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为(　　) A．113° B．92° C．113°或92° D．92°或134° 5.如图△BCD中，BD＝CD＝5，延长CD至点A，使AD＝3，连结AB，此时△ABC∽△ADB．则BC的长为 6.如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝　　 ． 7.如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，0)，C(0，1)，在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 　 　． 【题型3】相似三角形的判定 【典题1】 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是(　　) A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 【典题2】学习了“直径所对的圆周角是直角”这一性质后，圆中借助直角转化的等角较为灵活方便，比如说： (1)如图1，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．△ABE与△ACD相似吗？为什么？ (2)如图2，△ABC的顶点都在⊙O上，⊙