专题06 相似三角形的判定与性质重难点题型专训（10大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题06 相似三角形的判定与性质（10大题型） 【题型目录】 题型一 证明两三角形相似 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型三 重心的有关性质 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 利用相似三角形的性质求解 题型六 证明三角形的对应线段成比例 题型七 利用相似求坐标 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型九 相似三角形——动点问题 题型十 相似三角形的综合问题 【知识梳理】 知识点一、相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 知识点二、相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【经典例题一 证明两三角形相似】 1．（2023上·北京石景山·九年级校考期中）如图，在矩形中，E，F分别是，上的点，若，则一定有（    ）． A． B． C． D． 2．（2023上·上海闵行·九年级校考期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023下·九年级课时练习）如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 4．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．    （1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可） 5．（2023上·河北沧州·九年级校联考期中）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 【经典例题二 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（2023上·北京延庆·九年级统考期中）如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023上·山东滨州·九年级校考期末）如图，在中，是上一点，连接，添加下列条件中的一个，不能判断的是（　　） A． B． C． D． 3．（2022上·黑龙江鸡西·九年级统考期末）如图，在中，是边上一点，连接，要使与相似，应添加的条件是 ．    4．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    5．（2022·浙江杭州·统考一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【经典例题三 重心的有关性质】 1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 2．（2022上·上海徐汇·九年级校考阶段练习）如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（  ）    A．点G为的重心 B． C．当为等边三角形时， D． 3．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考期中）若抛物线经过原点和点及点，点C是x轴上一点，当的重心G落在抛物线上时，则点G的坐标是 ． 4．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图， 中，，，点 F是 的重心，，则 ． 5．（2023上·浙江金华·九年级校考期中）如图在的网格中，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚