第四章数列讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章：数列 （一）数列的概念 1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列. 对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N＋ 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数，使 摆动数列 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，… 3．数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式： 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 5.数列的前项和和通项的关系： 6.数列的性质----主要指： （1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；（2）数列的周期性. （二）等差数列 1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 2.等差数列的通项公式：； 说明：等差数列的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列. 3.等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． （三）等差数列的前和的求和公式：. （四）等差数列的性质： （1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等差数列中，对任意，，，； （4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列. （6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列． （7）若数列是等差数列,则仍为等差数列． 2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②. 3.,则,. 4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则. 6．等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值． 1.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，…； （2）2，0，2，0，…． 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为． （2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为． 2.假设某银行的活期存款年利率为某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用表示第年到期时的存款余额，求、、及. 【详解】，， ，. 3.已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证.（2）是递增数列还是递减数列？为什么？ 【详解】（1）由题意得，因为为正整数，所以，所以； （2）证明：因为，所以，所以，所以是递增数列. 4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数､正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项. 【答案】三角形数：第五个数15，第六个数21. 正方形数：第五个数，第六个数.五边形数：第五个数，第六个数. 5.已知在等差数列中，，．求． 【答案】 6. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 【答案】，， 7.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数