第一章空间向量和立体几何讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章：空间向量及其应用 一、空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 1.在图中，用，，表示，及． 【详解】， ， . 2.如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中x，y的值： （1） （2）（3） 【详解】（1），所以； （2）， 所以； （3）,所以. 二、 数量积及坐标运算 两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝. 1.如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）；（2）的长 解：（1），； （2） 2.在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长； （3）的长． 【答案】（1）10；（2）；（3） 结论： 如图，空间四边形中，.则. 3.如图，M是四面体棱的中点，点N在线段上，点P在线段上，且，，用向量，，表示． 解： ． 4.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）． A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】C 5.如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且． （1）求证：； （2）求EF与CG所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 6.已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：四面体中，、、、、、分别是对应各棱的中点，且. 求证：，，. 证明：设，，，则， ， 由可得，则， 所以，由此可得，所以，即. 所以，即，同理可证，. 三、空间向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 1. 已知点B是点在坐标平面Oxy内的射影，求． 【详解】因为点在坐标平面Oxy内的射影是 ，所以 . 2.是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量． 【详解】设，即有， 因为是空间的一个单位正交基底，所以有， 所以. 四、直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 五. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝km(k∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 （1）异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 (0，π) 求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝ （2）求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝. （3）求平面与平面形成的角 1. 求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉. (2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈