专题02 空间角与距离的计算5种常考题型归类-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题02 空间角与距离的计算5种常考题型归类 异面直线夹角的向量求法 1．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为　　 A． B． C． D． 2．（2021秋•海淀区校级期末）在正方体中，为棱上一点且，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•丰台区期末）如图，在正四棱柱中，，是棱上任意一点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 4．（2022秋•密云区期末）如图所示，在多面体中，梯形与正方形所在平面互相垂直，，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）若点在线段上，且，求异面直线与所成角的余弦值． 线面角的向量求法 5．（2022秋•怀柔区期末）如图，在长方体中，，，点在上，且． （Ⅰ）求直线与所成角的大小； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦． 6．（2022秋•丰台区期末）如图，已知正方体中，点是棱的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 7．（2020秋•石景山区期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 8．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在直三棱柱中，，，，交于点，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 9．（2022秋•大兴区期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，为等边三角形，且平面底面，，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 面面角的向量求法 10．（2021秋•西城区校级期末）已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为　　 A． B． C． D． 11．（2023春•东城区校级期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点在棱上． （1）证明：平面平面； （2）当时，求二面角的余弦值． 12．（2022秋•朝阳区期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 13．（2022秋•怀柔区期末）如图，四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成角的大小． 14．（2022秋•西城区期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 15．（2022秋•东城区校级期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，，为线段上一点，且． （1）若为的中点，证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 16．（2022秋•通州区期末）如图，在长方体中，，，点为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（2022秋•石景山区期末）如图，在直三棱柱中，，、分别是，的中点，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面与平面所成角的余弦值． 点到平面距离的向量求法 18．（2022秋•西城区期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知． 条件①：； 条件②：． （Ⅰ）求直线与所成角的余弦值； （Ⅱ）求点到平面的距离； （Ⅲ）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 19．（2022秋•房山区期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，为棱的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知， 求：直线与平面所成角的正弦值， 以及点到平面的距离． 条件①：； 条件②：平面； 条件③：． 20．（2022秋•东城区期末）在四棱锥中，底面是正方形，为棱的中点，，，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题． 条件①：平面平面； 条件②：． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值； （Ⅲ）求点到平面的距离． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 21．（2022秋•西城区期末）如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若平面，，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离． 与空间向量应用有关的探索性问题 22．（2022秋•东城区校级期末）如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求二面角的大小． （3）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 23．（2022秋•丰台区期末）如图，在四棱锥中，平面，