专题14 圆锥曲线之定点 定值、探索性问题（重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题14 圆锥曲线之定点定值、探索性问题 【直线过定点的解题策略】 （1） 如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关. （2） 直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点. （3） 若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 【重要结论】 1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)． 2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点． 4.只要任意一个限定AP与BP条件（如定值，定值），直线AB依然会过定点 【定值问题的常见类型及解题策略】 (1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 【知识拓展】 1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点； 2. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点； 3. 设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点； 重难点题型突破1 定点问题 例1、（2023上·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考期中）已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6． (1)求E的方程； (2)若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． （2023上·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知椭圆的左焦点为，点在上． (1)求椭圆的方程； (2)过的两条互相垂直的直线分别交于两点和两点，若的中点分别为，探究直线是否过定点，若过定点，求出此定点坐标，若不过定点，请说明理由． 重难点题型突破2 定值问题 例2、（2023上·浙江·高二校联考期中）已知椭圆：的左顶点为，焦距为.动圆的圆心坐标是，过点作圆的两条切线分别交椭圆于和两点，记直线、的斜率分别为和. (1)求证：； (2)若为坐标原点，作，垂足为.是否存在定点，使得为定值？ （2023上·河北·高二校联考期中）已知椭圆的长轴长为4，且三点，，中恰有一点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，直线交椭圆于，两点，为椭圆上与，不重合的点，若．试判断的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由． 重难点题型突破3 探索性问题 例3、（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知双曲线，过点的直线与该双曲线的左、右两支分别交于点． (1)当直线的斜率为时，求； (2)是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． （2023上·上海·高三上海市进才中学校考期中）双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度； (3)设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 1．（2022上·黑龙江佳木斯·高二校考期末）已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是（    ） A．离心率为 B．焦点为 C．长轴长为4 D．椭圆上的点的横坐标取值范围为 2．（2022上·黑龙江佳木斯·高二校考期末）平面内一点到两定点，的距离之和为12，则的轨迹是（    ） A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段 3．（2023·上海杨浦·统考一模）若椭圆长轴长为4，则其离心率为 . 4．（2023上·浙江·高二路桥中学校考期中）已知双曲线的两条渐近线方程为，并且经过点，则该双曲线的标准方程是 . 5．（2023上·浙江·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点，点满足．记的轨迹为． (1)求的方程；