5.4 三角函数的图像与性质（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第一册）

5.4 三角函数的图像与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理： 在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1). (2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定 义 域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数　　　　 周 期 性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 对 称 性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 (k∈Z) 对称中心是 (k∈Z) 重难点题型突破1 三角函数的定义域 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 例1、（1）、（2007·全国·高考真题）满足的x的集合是（    ） A． B． C． D．或 （2）、（2024上·河南新乡·高三新乡市第一中学校考阶段练习）函数的定义域为 .（用区间表示结果） 【变式训练1-1】、（2021下·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）函数的定义域为 . 【变式训练1-2】、（2021·上海·高一课时练习）函数的定义域是________. 重难点题型突破2 求三角函数的周期 例2、（1）、（2007·北京·高考真题（理））函数的最小正周期是_____________． （2）、（2023上·上海宝山·高三校考期中）函数的最小正周期为 . 【变式训练2-1】、（2023上·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考期中）函数的最小正周期是 ． 【变式训练2-2】、（2022·广东珠海·高一期末）下列函数最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破3 求三角函数的单调性 1、三角函数单调性的求法 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解； (2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性． 例3、（1）、（2023上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．该图象对应的函数解析式为 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 （2）、（广东省广州市越秀区2022-2023学年高二上学期期中数学试题）下列区间中，函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】、（2021下·内蒙古鄂尔多斯·高一校联考期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】、（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 重难点题型突破4 求三角函数的最大值与最小值 1、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．　 例4．（1）、（2023上·广东汕头·高二校考期中）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 （2）、（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的最大值为__________． 【变式训练4-1】、（2013·天津·高考真题（文））函数在区间上的最小值是 A． B． C． D．0 【变式训练4-2】、（2023上·天津和平·高三天津市汇文中学校考阶段练习）函数 在区间 上的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 例5．（2023上·上海普陀·高三校考期中）函数的最小正周期为（