专题05 图形的相似重难点题型专训（6大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题05 图形的相似重难点题型专训（6大题型） 【题型目录】 题型一 比例的性质 题型二 线段的比 题型三 成比例线段 题型四 由平行判断成比例的线段 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 题型六 黄金分割 【知识梳理】 知识点一、线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点二、比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 知识点三、黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 知识点四、相似图形 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 知识点五、平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 图形： 几何语言： ∵l1∥l2∥l3， ∴，， 推论 平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。 图形： 几何语言： ∵DE∥BC，∴， ， 【经典例题一 比例的性质】 1．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期末）若（），则（　　） A． B． C．1 D．2 2．（2021上·福建福州·八年级校考期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）若，则的值为 ． 4．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）设，则k的值为 ． 5．（2023上·江苏南通·九年级统考阶段练习）数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”，也能验证发现一些数学结论． (1)糖水实验一： 现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入m克水，则糖水的浓度为______． 生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式______，我们趣称为“糖水不等式”； (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：______． (3)糖水实验三： 请设计一个“糖水实验”，说明等比定理“若，则成立． 【经典例题二 线段的比】 1．（2023下·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（    ） A． B． C． D． 2．（2022上·上海青浦·九年级校考期中）点把线段分割成和两段，如果是种的比例中项．那么下列式正确的个数有（    ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2021上·山东青岛·九年级山东省青岛第二十六中学校考期中）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝ ． 4．（2022上·广东佛山·九年级统考期末）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，若E为中点，则 ． 5．（2023上·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考阶段练习）阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．    我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：________； (2)求的长； (3)求证：点P是线段的黄金分割点． 【经典例题三 成比