27.1图形的相似（题型专练）数学人教版九年级下册

27.1 图形的相似 题型一 相似图形 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·广西梧州·期末）在A、B、C、D四个图中，与原图形相似的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 相似多边形的性质 1．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，四边形四边形，若，则 ． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示的两个四边形相似，则的度数是 ． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）一个长，宽的长方形，按放大后得到的图形的面积是 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知两个矩形相似，其中一个矩形的相邻两边的长分别为3和2，另一个矩形的相邻两边的长分别为1.5和，则的值为 ． 题型三 成比例线段 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长等于 ． 2．（24-25九年级上·广东清远·期中）四条线段、、、是成比例线段，其中，，，则线段 ． 3．（24-25九年级上·广东清远·期中）是成比例线段，其中，，，求线段 ． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是 千米． 题型四 比例的性质 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）已知，则 ． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如果，则的值是 ． 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）已知，则 ． 4．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知，那么 ． 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 1．（2025九年级·陕西西安·专题练习）如图，已知，求长． 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线交于点O，，若，求的值． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 4．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 1．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立．这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当，即时，等号成立，从而有最小值为2． (1)填空：若，则的最小值为_______，此时_______； (2)现有一个面积为的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索： 设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）角平分线定理指出：在三角形中，角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两边对应成比例． (1)【探索发现】如图1，在中，平分交于，求证： 解题思路：悦悦的想法是过C作交延长线于点E，将相关边转化解决了问题．请按此思路完成证明． (2)【类比迁移】桐桐根据上面的思路，在探究外角平分线时，也发现了相关线段长成比例． 如图2，在中，点和点分别是和延长线上的点，连接，若平分，求证：； (3)【综合运用】如图3，在中，平分交于点，过作交于点，过作于，求的长． 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1 图形的相似 题型一 相似图形 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可． 【详解】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意； 因为两个菱形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个菱形不一定相似，所以B不符合题意； 因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意； 因为两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等腰直角三角形相似，所以D符合题意． 故选：D． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似形的定义：形状相同的图形称为相似形．根据相似图形的定义可知． 【详解】解：A、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个大小图形形状不同，不是相似图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（22-23九年级上·广西梧州·期末）在A、B、C、D四个图中，与原图形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似形的定义． 利用相似图形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项四边形为矩形，与原图形中的正方形不相似，该选项不符合题意； B.该选项图形与原图形相似，符合题意； C. 该选项四边形为矩形，与原图形中的正方形不相似，该选项不符合题意； D.该选项三角部分和圆点部分和原图形不一致，该选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。 故选：A． 题型二 相似多边形的性质 1．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，四边形四边形，若，则 ． 【答案】130 【分析】本题考查四边形的内角和及相似的性质．根据四边形的内角和为求出的度数，再根据图形相似的性质即可求出． 【详解】解：在四边形中，， ∵四边形四边形， ∴， 故答案为：130． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示的两个四边形相似，则的度数是 ． 【答案】/67度 【分析】本题考查了相似图形的性质，多边形内角和． 根据相似图形的性质可知左图第四个角的度数，根据多边形内角和求出四边形内角和，进而可求的度数． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）一个长，宽的长方形，按放大后得到的图形的面积是 ． 【答案】240 【分析】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 长方形按放大后得到的图形与原来的图形相似，面积比为，由此即可解决问题． 【详解】解：长方形按放大后得到的图形与原来的图形相似，面积比为， 按放大后得到的图形的面积， 故答案为：240． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知两个矩形相似，其中一个矩形的相邻两边的长分别为3和2，另一个矩形的相邻两边的长分别为1.5和，则的值为 ． 【答案】1或2.25 【分析】利用相似多边形的性质直接求解即可. 【详解】解：①当边长分别是3，1.5的边是对应边时， 两矩形相似， ，解得； ②当边长分别是，的边是对应边时， 两矩形相似， ，解得． 综上所述，的值为1或2.25． 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是分类讨论思想. 题型三 成比例线段 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长等于 ． 【答案】6 【分析】根据a、b、c、d是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出d的值即可． 本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 【详解】解：，b，c，d成比例， ， ，，， ， ． 故答案为： 2．（24-25九年级上·广东清远·期中）四条线段、、、是成比例线段，其中，，，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段． 由四条线段、、、是成比例线段，可得，即可得线段的长． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 又∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东清远·期中）是成比例线段，其中，，，求线段 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，对于四条线段，如果，那么这四条线段叫做成比例线段，据此解答即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是 千米． 【答案】17 【分析】本题考查了图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．根据比例尺的含义求解即可． 【详解】解：∵比例尺为，，两地的距离是厘米， 设， 两地的实际距离为， ∴ ， ∴， ． 故答案为：17． 题型四 比例的性质 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）已知，则 ． 【答案】/0.4 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，代入原式化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如果，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据分式的性质进行化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的计算，掌握分式的性质是关键． 根据题意得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】/0.4 【分析】本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 1．（2025九年级·陕西西安·专题练习）如图，已知，求长． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 解得BD． 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线交于点O，，若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键．由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练运用是关键； （1）由得，即可求得； （2）由得，再结合即可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 1．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立．这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当，即时，等号成立，从而有最小值为2． (1)填空：若，则的最小值为_______，此时_______； (2)现有一个面积为的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索： 设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 【答案】(1)6，3 (2)①过程见解析；②当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为 【分析】本题考查定义新运算、平行线分线段成比例定理的应用、正方形的性质： （1）结合题干即可直接求解； （2）①设边上的高，则，根据三角形面积可得，根据可得，从而可得；②由得，根据，当且仅当时等号成立即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴，当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为6，此时， 故答案为：； （2）解：①设边上的高，则， ∵锐角三角形的面积为1.5， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴，当且仅当，即时，等号成立， 即当时，有最小值为， ∴当时，有最大值， ∴有最大值为， 即当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为． 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）角平分线定理指出：在三角形中，角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两边对应成比例． (1)【探索发现】如图1，在中，平分交于，求证： 解题思路：悦悦的想法是过C作交延长线于点E，将相关边转化解决了问题．请按此思路完成证明． (2)【类比迁移】桐桐根据上面的思路，在探究外角平分线时，也发现了相关线段长成比例． 如图2，在中，点和点分别是和延长线上的点，连接，若平分，求证：； (3)【综合运用】如图3，在中，平分交于点，过作交于点，过作于，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3)的长为． 【分析】（1）过作，交延长线于点，可得，由平行线的性质，结合角平分线的定义，等量代换，可得，根据等角对等边，可得，即可证得结论； （2）过作交于点，可得，由平行线的性质，结合角平分线的定义，等量代换，可得，根据等角对等边，可得，即可证得结论； （3）设，则，，由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，从而可得，由三角形的内角和定理，结合三角形外角的性质，可得，从而可得，在延长线上取点，可得，由（2）所证结论可得，从而可得，设，则，，作于点，则为的中点，由勾股定理可得，由等面积法可得，结合已知，由勾股定理可得，从而可得，，，，根据勾股定理，可得，由（1）所证结论可得，从而可得的长． 【详解】（1）证明：过作，交延长线于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：过作交于点， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）证明：∵于， ∴， ∵平分交于点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在延长线上取点，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）所证结论可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 作于点，则为的中点， ∴， ∴， 又∵于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，平分交于点， 由（1）所证结论可得， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行线分线段对应成比例，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余． 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，正方形相似性质，规律探索，找到规律是解决问题的关键． （1）根据勾股定理可知，所求为以为边长的正方形面积，因为正方形皆相似，利用等腰面积为求出以为边长的正方形面积，再根据已知得到，即可求解． （2）利用（1）的方法求解即可； （3）利用（1）的方法找到规律求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰， ， ∴以为边长的正方形面积为1， ∵， ， ∵正方形皆相似， ∴， ∴以为边长的正方形面积为4， 由勾股定理得； 故答案为：4； （2）同（1）得： ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ； 故答案为：16； （3）同上所得：， ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $