6.3余角、补角、对顶角 拓展讲义2023-2024学年 苏科版七年级数学上册

苏科版七年级上册平面图形认识（一） 6.3 余角、补角、对顶角 知识点： 1、 互余、互补的概念 互余的概念： 1 文字描述：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角。 2 几何语言：因为∠1+∠2=90°，所以∠1与∠2互余； 因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90° 互补的概念： 1 文字描述：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补角。 2 几何语言：因为∠1+∠2=180°，所以∠1与∠2互补； 因为∠1与∠2互补，所以∠1+∠2=180° 【示例】 （1）若∠A=34°，则∠A的补角的度数为 （2）若∠A=25°30’，则它的余角的度数为 2、余角、补角的性质 余角的性质： 1 （1）文字描述：同角的余角相等 （2）几何语言：因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3 ② （1）文字描述：等角的余角相等 （2）几何语言：因为∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，所以∠2=∠4 补角的性质： 1 （1）文字描述：同角的补角相等 （2）几何语言：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=∠3 ② （1）文字描述：等角的补角相等 （2）几何语言：因为∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，所以∠2=∠4 【示例】 （1）如图①，∠AOC=90°，∠BOD=90°，则∠AOB ∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”），理由是 （2）如图②，如果A、B、C、D是同一条直线上的点，且∠ABE=∠DCF，那么 ∠EBC ∠FCB（填“＞”、“＜”或“＝”），理由是 图① 图② 3、 对顶角的概念 1 文字描述：有公共顶点，且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角。对顶角也可以理解为一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 2 几何语言：因为直线a、b相交于一点，所以∠1与∠3、∠2与∠4是对顶角 3 满足条件：（1）两条直线相交；（2）有公共顶点；（3）没有公共边 【示例】 下列四幅图中，∠1和∠2是对顶角的为（ ） 4、 对顶角的性质 1 文字描述：对顶角相等 2 几何语言：因为∠1与∠3、∠2与∠4是对顶角，所以∠1=∠3、∠2=∠4 典例精析： 一、【互余、互补的有关计算】 例1-1、如果一个角余角的度数为42°51’，那么这个叫的补角的度数是 例1-2、一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数是 二、【利用互余（互补）、对顶角的性质求角的度数】 例2、如图，直线CD、AB相交于点O，∠BOD和∠AON互余，∠AON=∠COM。 （1） 求∠MOB得度数； （2） 若∠COM=∠BOC，求∠BOD得度数。 三、【利用角平分线的定义、对顶角的性质求角的度数】 例3、如图，直线AB与CD相交于点O，CE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC=2:3，OF平分∠BOE. （1） 若∠BOD=65°，求∠BOE的度数； （2） 若∠AOE=∠BOF-10°，求∠COE的度数。 四、【利用角平分线的定义、对顶角的性质说理】 例4、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，OF平分∠EOD. （1） 试说明∠AOD=2∠COE； （2） 若∠AOC=50°，求∠EOF的度数； （3） 若∠BOF=15°，试说明∠AOC=∠BOF. 五、【与识别对顶角对数相关的规律探索题】 例5、如图①，直线AB、CD相交于点O，其中对顶角有2对。 （1）如图②，直线AB、CD、EF相交于点O，其中对顶角有 对； （2）如图③，直线AB、CD、EF、GH相交于点O，其中对顶角有 对； （3）n条直线相交于同一点，其中对顶角有 对； （4）200条直线相交于同一点，其中对顶角有 对。 同步练习： 1、如图，直线a、b相交于点O，如果∠1+∠2=60°，那么∠3的度数为（ ） A、210° B、180° C、150° D、120° 2、一个角的补角加上30°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是（ ） A、10° B、15° C、30° D、25° 3、已知∠1和∠2互补，且∠1＞∠