第一部分 第3章 实数-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（浙教版）

第 一 部 分 温 故 知 新 第三章 实数 1. “方根”概念 本章一开始要深刻理解三个重要概念,即平方根、算术平方根、立方根,这三个概念既有相同点,又有本 质区别,容易混淆,要认真区别.为了更好地区别,我们可以采用列表的方式加以归纳与概括. 算术平方根 平方根 立方根 概念 若x2=a(x≥0),则x 叫做a 的算术平方根 若 x2=a,则 x 叫 做a 的 平 方根 若x3=a,则x 叫做a的立方根 表示方法 a ± a 3a a的取值范围 a≥0 a≥0 a为任意实数 性质 规定 0=0 正数的平方根有两个;0的平方 根是0;负数没有平方根 正数的立方根是正数;0的立方 根是0;负数的立方根是负数 重要结论 (a) 2 =a a2=|a| (± a) 2 =a a2=|a| (3a) 3 =a 3 a3=a 求法 正数的正的 平方根 开平方 开立方 2. 无理数的概念 无限不循环小数叫无理数,这说明无理数可以化成具有两个基本特征的小数:一是小数位数是无限的; 二是不循环的,这对初学者来说有一定难度,因此,我们必须掌握它的表现形式.在初中阶段,无理数表现形 式主要有以下几种: (1)无限不循环的小数,如0.1010010001……(两个1之间依次多一个0). (2)含π的数,如:π, 2 π ,3π等. 41 第 一 部 分 温 故 知 新 (3)开方开不尽而得到的数,如 2,3等. (4)某些三角函数值,如sin25°,tan78°等(九年级学习). 3. 正确理解 a,- a,± a, 3 a (1)a(a≥0)表示非负数,即 a≥0,它是a 的算术平方根. (2)- a(a≥0)表示a 的算术平方根的相反数,或者说表示a 的负的平方根. (3)± a(a≥0)表示a 的平方根,正数a 的平方根有两个,它们互为相反数. (4)当a<0时,a,- a,± a均无意义. (5) 3 a表示a 的立方根. 考点1 平方根的计算 例1 4的平方根是 ( ) A. 4 B. 2 C. -2 D. 2和-2 分析:由平方根的意义知,4的平方根是± 4=±2.故选D. 评注 由于开方与乘方恰好互为逆运算,所以求一个正数的平方根,也可以通过乘方运算来得出,即因为 (±2)2=4,所以4的平方根是±2. 考点2 算术平方根的计算 例2 9的算术平方根是 . 分析:因为9的平方根是± 9=±3,所以9的算术平方根是3. 评注 算术平方根与平方根是两个不同的概念,两者不能混淆. 考点3 立方根的计算 例3 3 0.001= . 分析:由立方根的意义知,正数0.001的立方根只有一个(为0.1),故应填0.1. 评注 任何数都只有一个立方根,并且每个正数或负数的立方根符号均与原数相同,0的立方根是0. 考点4 无理数的估算 例4 估算 15+3的值是在 ( ) A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 分析:因为3= 9< 15< 16=4,所以 15+3应在6和7之间,故选B. 评注 新课程标准要求,会用有理数估计一个无理数的大致范围. (1)用实数估算某无理数的范围,关键是 找出该无理数前后的有理数,一般可采用放缩的方法对根号内的被开方数进行适当的放大或缩小,从中探 寻数的大小规律;(2)若题目没有特别说明,也可以用计算器进行估算. 考点5 无理数的判别 例5 在实数5, 3 7 ,3,4中,无理数是 ( ) A. 5 B. 3 7 C. 3 D. 4 分析:5, 3 7 ,4(=2)为有理数;因为 3是开不尽方的,由无理数的概念知 3是无理数,故选C. 评注 对于是哪种数的判断,要看数计算的结果,不要看形式,所以不要误认为 4是无理数. 51 第 一 部 分 温 故 知 新 1. 混淆平方根与算术平方根的概念 例1 9的平方根是 . 错解:3 分析:任何一个正数都有两个平方根,其中正的平方根就是这个正数的算术平方根.不过有的学生会将平方 根的概念与算术平方根的概念混淆,误认为正数只有一个平方根. 正解:±3 2. 思维过程脱节导致错误 例2 16的算术平方根是 . 错解:4 分析:本题的实质是先计算 16,再求它的算术平方根.但不少学生不能兼顾整个思维过程,造成思考过程脱 节,错误地求出16的算术平方根. 正解:2 3. 对立方根的性质理解不到位 例3 已知 3 0.854≈0.9488, 3 8.54≈2.044, 3 85.4≈4.404,求下列各式中x 的值. (1)x≈ 3 -0.000008