3.3.2 抛物线的简单的几何性质（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.2 抛物线的简单的几何性质 考点一 与焦点弦有关的常用结论 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)． (3)＋为定值. (4)以AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 考点二 与抛物线有关的经典结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 重难点题型突破1 抛物线简单的几何性质 例1．（1）、（2023上·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 （2）、（2023上·重庆·高二统考期末）（多选题）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是4 C．若点P的坐标为，则的最小值为5 D．若Q为线段MN中点，则Q的坐标可以是 【变式训练1-1】、（2023上·广东湛江·高三统考阶段练习）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点是上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2023上·云南楚雄·高三统考期中）已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为 . 重难点题型突破2 直线与抛物线位置关系 例2．（2021上·山东日照·高二校联考期末）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点. (1)求的值； (2)求证：OM⊥ON. 【变式训练2-1】、（2023上·江苏淮安·高二统考期中）已知抛物线，直线交抛物线于两点，中点为．    (1)求抛物线的标准方程； (2)记抛物线上一点，直线斜率为，直线斜率为，求． 重难点题型突破3 抛物线与其他圆锥曲线的综合问题 例3．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校联考期中）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 【变式训练3-1】、（2023上·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考阶段练习）已知抛物线：的焦点到其准线的距离为，椭圆：经过抛物线的焦点. (1)椭圆的离心率，求椭圆短轴的取值范围； (2)已知为坐标原点，过点的直线与椭圆相交于，两点.若，点满足，且的最小值为，求椭圆的离心率. 重难点题型突破4 其它综合问题 例4、（2023·广东汕头·统考一模）如图，已知为抛物线内一定点，过E作斜率分别为，的两条直线，与抛物线交于，且分别是线段的中点． (1)若且时，求面积的最小值； (2)若，证明：直线过定点． 【变式训练4-1】、（2023·重庆·统考模拟预测）如图，已知抛物线C：，F为其焦点，点在C上，△OAF的面积为4．    (1)求抛物线C的方程； (2)过点作斜率为的直线交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线，且，求△MNQ的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3.2 抛物线的简单的几何性质 考点一 与焦点弦有关的常用结论 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)． (3)＋为定值. (4)以AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 考点二 与抛物线有关的经典结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 重难点题型突破1 抛物线简单的几何性质 例1．（1）、（2023上·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进