第二部分 小小数轴作用大-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（苏科版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 第二部分 专题选讲 小小数轴作用大 数轴是一条规定了原点、单位长度和正 方向的直线.在解决数学问题时,数轴是沟通 数与形、体现数形结合思想的重要工具之一. 下面介绍数轴在《有理数》一章学习中所发挥 的作用. 1. 数轴与有理数 在数轴上,原点右边的点表示正数,原点 左边的点表示负数,原点表示非正非负的中 性数“0”,它把数轴分成正半轴和负半轴两部 分.在数轴上,若干个点所表示的数中,右边 的点所表示的数一定大于左边的点所表示的 数,不管这些点在原点的同侧还是异侧.由于 数轴是一条直线,没有端点,可以向两边无限 伸展,所 以 既 没 有 最 大 的 数,也 没 有 最 小 的数. 例1 画出数轴,并用数轴上的点表示 下列各数. 5,-2,3 1 2 ,-3 1 2. 解析 2. 数轴与绝对值 在数轴上,一个数所对应的点与原点的 距离,叫做这个数的绝对值.这就是绝对值的 几何意义.如|a|=5,表示数轴上到原点距 离为5的点,这样的点有两个,分别表示数 5和-5,即a=±5. 由绝对值的几何意义不难知道,任何数 a 的绝对值都是一个非负数,即|a|≥0. 例2 在下图所示的数轴中,OA=OB =BC=n,化简|a-b|-|b+c|+|a+b+ c|. 解析 由数轴上各点的位置可知,c<b <0<a,设OA=n,则c=-2n,b=-n,a= n. 于是,得a-b=n-(-n)=n+n=2n >0,b+c=(-n)+(-2n)=-3n<0,a+b +c=n+(-3n)=-2n<0, 所以,|a-b|-|b+c|+|a+b+c|= |2n|-|-3n|+|-2n|=2n-3n+2n=n. 3. 相反数与数轴 只有符号不同的两个数互为相反数,如 果利用数轴认识相反数,则更加形象直观.在 数轴上,表示一对相反数的两个点同时具备 两个条件:(1)到原点的距离相等;(2)分别位 于原点的左右两侧.特殊地,0的相反数还是 0本身,也可以通过“表示0的点为原点”去 理解.因为数a 的相反数是-a,所以一个数 加了负号之后,表示这个数的点在数轴上的 位置,就越过原点移到与原来相对的位置上 了(严格地说,就是到了这个点关于原点的对 称点的位置);如果再加一个负号,那么它又 移回来,到了原来的位置上,即-(-a)=a, 这说明一个数 的 相 反 数 的 相 反 数 就 是 它 14 第 二 部 分 专 题 选 讲 本身. 4. 数轴可以比较大小 数轴上的点所表示的数,原点右边的都 是正数,原点左边的都是负数;数轴上两个点 所表示的数,右边的总比左边的大.由此可得 到下面的结论: (1)正数都大于0,负数都小于0,正数大 于负数. (2)对于三个有理数a,b,c,若a>b,b >c,则a>c;若a<b,b<c,则a<c. (3)没有最大的有理数,也没有最小的有 理数. (4)最大的负整数是-1,最小的正整数 是1. (5)没有绝对值最大的数,绝对值最小的 数是0. 例3 已知a<0,-b>0,且|-b|< |a|,c是-b 的相反数,试比较a,-b,c 的 大小,并用“<”连接. 解析 由条件易知,若将a,-b,c 表示 在数轴上,则a 在原点的左边,-b在原点的 右边,且a 离原点较远,-b 离原点较近,c 在原点和a 之间,且c 与-b 到原点的距离 相等(如图所示). 由此不难得出结果:a<c<-b. 1. 已知a<0,b>0,且|a|<|b|,求|a +b|+|a-b|的值. 2. 把下列各数化简后在数轴上表示出 来,并把它们按从小到大的顺序用“<”号连 接起来. -|4| (-2)2 (-1)3 -(-3) 3. 有理数a,b,c 在数轴上的对应点分 别为A,B,C,其位置如下图所示,试化简: |a+b|+|c-a|-|b+c|. 4. 若a,b,c在数轴上的对应点如图所 示,化简|a+c|-|a+b|+|c-a|-|a-b|. 24 第二部分 专题选讲 小小数轴作用大 1. 解:根据已知条件作出数轴,如图. 由数轴,知a>-b,则a+b>0,a<b,则a-b<0. ∴|a+b|+|a-b|=a+b+(b-a)=2b. 2. 数轴略 -|4|<(-1)3<-(-3)<(-2)2 3. 解:由图可知:a+b<0,c-a<0,b+c<0,∴|a+b|+|c-a|-|b+c|=-a-b-c +a-(-b-c)=-b-c+b+c=0. 4. 解:|a+c|-|a+b|+|c-a|-|a-b|=-(a+c)+(a+b)+c-a+(a-b)=-a -c+a+b+c-a+a-b=0. “混而有序”的有理数运算 1.