第二部分 有理数乘方探究新知-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（人教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 有理数乘方探究新知 规律探索性问题是指题目中给出一组有 规律的算式或图形,通过仔细观察、认真分 析、归纳猜想,进而得出规律性结论的问题, 下面就有理数乘方的运算中出现的规律性问 题进行归纳小结,供同学们学习时参考! 1. 探究数字规律 例1 下列一组按规律排列的数:1,2, 4,8,16,…,第2022个数是 ( ) A. 22021 B. 22022 C. 22023 D. 以上都不对 解析 1=20,2=21,4=22,8=23,16= 24,…,显然第2022个数为22022-1=22021.所 以选A. 点评 本处运用了归纳思想解题,利用 它常可以从看似“杂乱”的问题中找出内在的 规律,使问题变得有章可循. 2. 探究图形规律 例2 观察如图所示的点阵图和相应的 等式,探究其中的规律: (1)在④和⑤后面的横线上分别写出相 应的等式; (2)通过猜想写出与第n 个点阵相对应 的等式. 解析 (1)本题图形中所反映出来的数 字关系已经列出三个,易得:④1+3+5+7= 42;⑤1+3+5+7+9=52. (2)可以猜想:1+3+5+…+(2n-1) =n2. 3. 探究个位数字 例3 2n 的末位数字的规律是什么? 利 用这个规律,求22020 的末位数字. 解析 本题我们可以采用从特殊现象总 结出一般规律的策略,通过列表的方法,借助 计算器或仅计算各相同因式乘积的末位数字 来发现规律. 解:列表并计算,如下表所示: 指数 1 2 3 4 5 6 7 8 … 末位数字 2 4 8 6 2 4 8 6 … 观察上表很容易发现,2n 的末位数字的 规律是:指数被4除余1的是2;被4除余2 的是4;被4除余3的是8;被4整除的是6, 因为2020=505×4,所以22020 的末位数字 是6. 点评 利用列表计算法探求规律时,应 先把有关问题抽象成相应的数字问题模型, 写出它的一般形式,再经过猜想归纳,进而发 现规律. 4. 探究算式规律 例4 观察下列各式: 13=12 43 第 二 部 分 专 题 选 讲 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 … 猜想:13+23+33+…+103= .(不必计算出结果) 解析 根据题意,可分析出规律为从1 开始,连续n 个数的立方和=(1+2+…+ n)2,所以13+23+33+…+103=(1+2+3 +…+10)2=552. 点评 从最简单的计算开始列举计算, 分析这些算式的相同点与不同点,从而找出 “通项”,归纳出规律,也可直接对运算过程进 行特殊变形后直接观察归纳出算式的结构规 律.本题的规律为:从1开始,连续n 个数的 立方和=(1+2+…+n)2. 1. 观察下列算式,用你所发现的规律得 出22010 的末位数字是 ( ) 21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26 =64,27=128,28=256,… A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰, 日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木 棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完, 如图所示. 由图易得:1 2+ 1 22 + 1 23 +…+ 1 2n = . 3. (1)观察一列数2,4,8,16,32,…,发 现从第二项开始,每一项与前一项之比是一 个常数,这个常数是 ;根据此规律, 如果an(n 为正整数)表示这个数列的第n 项,那么a18= ,an= ; (2)如果欲求1+3+32+33+…+320 的 值,可令S=1+3+32+33+…+320 ① 将①式两边同乘3,得 ② 由②式减去①式,得S= . 4. 在数学活动中,小明为了求1 2+ 1 22 + 1 23 + 1 24 +…+ 1 2n 的值(结果用n 表示),设计 了如图(1)所示的几何图形. (1) (1)请你利用这个几何图形求 1 2+ 1 22 + 1 23 + 1 24 +…+ 1 2n 的值为 ; (2)请你利用图(2),再设计一个能求 1 2 + 1 22 + 1 23 + 1 24 +…+ 1 2n 的值的几何图形. (2) 53 25. 该几何体的形状是直四棱柱(答直 棱柱、四棱柱、棱柱也可). 26. 解:(1)∠AOC=∠AOB+∠BOC =120° ∵OM,ON 分别平分∠AOB,∠BOC, ∴ ∠MOB = 1 2 ∠AOB ,∠BON = 1 2∠BOC , ∴ ∠MON = ∠MOB + ∠BON = 1 2 (∠AOB+∠BOC)= 1 2∠AOC=6