第二部分 小小数轴作用大-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（人教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 第二部分 专题选讲 小小数轴作用大 数轴是一条规定了原点、单位长度和正 方向的直线.在解决数学问题时,数轴是沟通 数与形、体现数形结合思想的重要工具之一. 下面介绍数轴在《有理数》一章学习中所发挥 的作用. 1. 数轴与有理数 在数轴上,原点右边的点表示正数,原点 左边的点表示负数,原点表示非正非负的中 性数“0”,它把数轴分成正半轴和负半轴两部 分.在数轴上,若干个点所表示的数中,右边 的点所表示的数一定大于左边的点所表示的 数,不管这些点在原点的同侧还是异侧.由于 数轴是一条直线,没有端点,可以向两边无限 伸展,所 以 既 没 有 最 大 的 数,也 没 有 最 小 的数. 例1 画出数轴,并用数轴上的点表示 下列各数: 0,-2,3 1 2 ,-3 1 2. 解: 2. 数轴与绝对值 在数轴上,一个数所对应的点与原点的 距离,叫做这个数的绝对值.这就是绝对值的 几何意义.如|a|=5,表示数轴上到原点距 离为5的点,这样的点有两个,分别表示数5 和-5,即a=±5. 由绝对值的几何意义不难知道,任何数 a 的绝对值都是一个非负数,即|a|≥0. 例2 在下图所示的数轴中,O 为原点, 点A,B,C 对应的数分别为a,b,c,OA=OB =BC=n,化简|a-b|-|b+c|+|a+b+c|. 解析 由数轴上各点的位置可知,c<b <0<a,c=-2n,b=-n,a=n. 于是,得a-b=n-(-n)=n+n=2n >0,b+c=(-n)+(-2n)=-3n<0,a+b +c=n+(-n)+(-2n)=-2n<0. 所以,|a-b|-|b+c|+|a+b+c|= |2n|-|-3n|+|-2n|=2n-3n+2n=n. 3. 相反数与数轴 只有符号不同的两个数互为相反数,如 果利用数轴认识相反数,则更加形象直观.在 数轴上,表示一对相反数的两个点同时具备 两个条件:(1)到原点的距离相等;(2)分别位 于原点的左右两侧.特殊地,0的相反数还是 0本身,也可以通过“表示0的点为原点”去 理解.因为数a 的相反数是-a,所以一个数 加了负号之后,表示这个数的点在数轴上的 位置,就越过原点“叛变”到与原来相对的位 置上了(严格地说,就是到了这个点关于原点 的对称点的位置);如果再加一个负号,那么 它又“叛变”回 来,到 了 原 来 的 位 置 上,即 -(-a)=a,这说明一个数的相反数的相反 数就是它本身. 例3 在数轴上点A 表示7,点B,C 表 03 第 二 部 分 专 题 选 讲 示互为相反数的两个数,且点C 与点A 间的 距离为2,求点B,C 对应的数分别是多少? 解析 ∵数轴上点A 表示7,且点C 到 点A 的距离为2, ∴点C 有两种可能5或9.又∵B,C 两 点所表示的数互为相反数, ∴点B 也有两种可能-5或-9.故B: -5,C:5或B:-9,C:9. 4. 数轴可以比较大小 数轴上的点所表示的数,原点右边的都 是正数,原点左边的都是负数;数轴上两个点 所表示的数,右边的总比左边的大.由此可得 到下面的结论: (1)正数都大于0,负数都小于0,正数大 于负数. (2)对于三个有理数a,b,c,若a>b,b >c,则a>c;若a<b,b<c,则a<c. (3)没有最大的有理数,也没有最小的有 理数. (4)最大的负整数是-1,最小的正整数 是1. (5)没有绝对值最大的数,绝对值最小的 数是0. 例4 已知a,b为有理数,a>0,b<0,a +b<0,将四个数a,b,-a,-b按由小到大 的顺序排列是 . 解析 ∵a>0,b<0, ∴数轴上表示a,b 的点分别在原点的 右边和左边. 又∵a+b<0, ∴表示a 的点到原点的距离小于表示b 的点到原点的距离,故a,b,-a,-b 四个数 在数轴上可表示如下图所示,观察数轴可知 b<-a<a<-b. 1. 点A 在数轴上距原点3个单位长度, 将点A 向右移动2015个单位长度,再向左 移动2018个单位长度,此时点A 所表示的 数是 . 2. 在数轴上,若点A 和点B 分别表示 互为相反数的两个数,并且这两点的距离是 11个单位长度,则这两点所表示的数分别是 、 . 3. 在数轴上点A 表示5,点B,C 表示 互为相反数的两个数,且点C 与点A 间的距 离为2个单位长度,点B,C 表示的数分别可 能是什么? 4. 已知数轴上的4个点A,B,C,D 对 应的数分别是a,b,c,d,且b比d 小7,c比 a 大5,b 比c 小3.已知|d|=6,求a,b,c 的值. 5. 求|x+2|+|x-4|的最小值. 13 25. 该几何体的形状是直四棱柱(答直 棱柱、