第二部分 数线段的规律及其应用-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（人教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 数线段的规律及其应用 同学们在学习直线这部分内容时,经常 会遇到求线段条数的问题.在这类问题中隐 藏了什么样的规律,利用其中的规律能够解 决其他一些问题吗? 一、 规律的探索 例1 如图,在直线a 上有一个点A,两 个点A,B,三个点A,B,C,…分别数一数线 段的条数,你有什么发现? 请将你的发现填 入下表: 点的个数/个 1 2 3 4 5 … n 线段条数/条 解析 为了避免遗漏和重复,我们可以 按以下的方法来数线段的条数(如图,图中以 4个点为例): 以点A 为线段左端点的有AB,AC,AD, 以点B 为线段左端点的有BC,BD, 以点C 为线段左端点的有CD, 共有3+2+1=6(条)线段. 当直线上的点比较多时,采用以上数线 段的方法可以比较方便地计算出线段的条 数.例如,在直线上有n 个点时,共有(n-1) +(n-2)+…+2+1= n(n-1) 2 (条)不同的 线段. 点评 上面的结论揭示了隐藏在数线段 问题中的规律.通过分析和推理,我们发现这 一规律不但能够解决数线段的问题,而且还 可以解决日常生活中的很多问题. 例2 某次同学聚会中,共有45人参 加,如果每两人都握手一次,共握几次手? 为 了解答更一般的问题,设计了下列图表进行 探究: 聚会 人数n n=2 n=3 n=4 n=5 … 握手 示意图 … 握手 次数m m=1 m=3 m=6 m= … (1)请你补全上面的图形; (2)根据图像,猜想握手次数m 与参加 聚会人数n 之间有什么关系,并对你的猜想 说明理由; (3)由此可知握手的次数吗? 解析 (1)如图所示: (2)当参加人数为2人时,握手次数为:1 = 1 2×2×1 ;当参加人数为3人时,握手次数 为:3= 1 2×3×2 ;当参加人数为4人时,握手 次数为:6= 1 2×4×3 ;当参加人数为5人时, 握手次数为:10= 1 2×5×4 ;……当参加人数 为n 人时,握手次数m 为:m= 1 2n (n-1). 54 第 二 部 分 专 题 选 讲 (3)由m= 1 2n (n-1),得出m= 1 2×45 ×44=990. 答:45人共握手990次. 二、 规律的应用 例1 某校七年级共有8个班参加篮球 赛,比赛采用单循环赛(每两班之间赛一场) 的方法,那么一共要进行多少场比赛? 解析 如果将8个班视为一条直线上的 8个点,每两班之间比赛一场相当于每两点 都可以是一条线段的两个端点,那么问题就 转化为“n=8时,数线段”的问题.利用例1 探索的规律,得到8× (8-1) 2 =28 (场),即一 共要进行28场比赛. 例2 如图,从同一端点O 出发的4条 射线(最大夹角小于直角),一共可以组成多 少个锐角? 如果有n 条射线呢? 解析 因为每两条从同一点出发的射线 就可以组成一个锐角,故本例同样符合“数线 段”的规律.4条射线可以 组 成 4×(4-1) 2 = 6(个)锐角,n 条射线可以组成 n(n-1) 2 (个) 锐角. 点评 生活中有很多有趣并且含有数学 规律的问题,通过对这些问题的探究不仅可 以使同学们经历“学数学”和“用数学”的过 程,而且有利于同学们领悟数学思想方法(比 如本例中用到的归纳的方法和数学建模的思 想),增强学好数学的信心. 1. 观察下列图形,并阅读图形(如图所 示)下面的相关文字: 两条直线相交, 最多有1个交点 三条直线相交, 最多有3个交点 四条直线相交, 最多有6个交点 像这样,十条直线相交,最多交点的个数 是 个. 2. 如图所示,图中共有多少个三角形? 如果按此规律,在△A1OA4 的底边A1A4 上 有n 个点时共有多少个三角形呢? 3. 有一辆客车往返两地,中途停靠三个 车站,问有多少种不同的票价? 要准备多少 种车票? 4. 某次毕业晚会上,班主任老师要求全 班50名同学每两人握一次手,那么全班同学 一共握了多少次手? 64 的值相等,可得k+1 3 = k+1 2 -6. 解得k= 35. 故当k=35时,代数式 k+1 3 的值与k+1 2 -6的值相等. 怎样寻找相等关系 小试牛刀 1. B 2. C 3. B 4. (54-x) 8x= 10(54-x) 30 5. 1000 6. 解:设用x 张铁皮做盒身,则用(36- x)张铁皮做盒底,依题意得: 2×25x=40×(36-x) 解得:x=16 当x=16时,36-x=20. 答:用16张制盒身,20张制盒底可以使 盒身与盒底正好配套. 7. 解:设甲、乙两班工人需要做x 天才 能完成任务,由题意得: 20x+1.5×20x=450 解得:x=9. 答:甲、