第二部分 巧用两点之间线段最短-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（人教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 巧用两点之间线段最短 习题:(1)如图,把原来弯曲的河道改直, 两地间的河道长度有什么变化? (2)如图,公园里设计了曲折迂回的桥, 这样做对游人观赏湖面风光有什么影响? 与 修一座直的桥相比,这样做是否增加了游人 在桥上 行 走 的 路 程? 说 出 上 述 问 题 中 的 道理. 解:(1)河道的长度变短了;(2)由于“两 点之间线段最短”,这样做增加了游人在桥上 行走的路程,有利于游人更好地观赏湖面 风光. 点评 上述两小题都是应用了“两点之 间,线段最短”这一事实解题的. 转化一:如图1,葛藤是一种刁钻的植 物,它自己腰杆不硬,为争夺雨露阳光,常常 绕着树干盘旋而上.它还有一手绝招,就是它 绕树攀升的路径,总是沿最短路线———螺旋 上升.难道植物也懂数学吗? 想一想,葛藤的 最短路线怎么走? 图1 图2 解:葛藤应沿侧面展开图(图2)中 AB 间的线段爬行路线最短. 点评 求最短路线,可利用“两点之间线 段最短”,而路线又过侧面,所以应用展开图 找路线.求几何体上两点间的最短距离,常需 将表面展开,这是普遍使用的规律. 转化二:如图,直线l 是一条平直的公 路,A,B 是某公司的两个仓库,位于公路两 旁,请在公路上找一点建一货物中转站C,使 A,B 到C 的距离和最小,请找出C 的位置 并说明理由. 解:连接AB,AB 与l的交点C 即为所 求,根据两点之间线段最短,要使C 到A,B 的距离和最小,则点C 必须在线段AB 上, 又点C 必在直线l上,所以点C 应是两线的 交点. 点评 解决此题可建立数学模型,将实 际问题转化为几何问题.对于两点位于某一 直线的两旁,而求一点到这两点距离之和最 小的问题,可直接连接两点,连线与直线的交 74 第 二 部 分 专 题 选 讲 点即为所求. 转化三:如图,在平原上有 A,B,C,D 四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投 资修建一个蓄水池,不考虑其他因素,请你画 图确定水池的位置,使它与四个村庄的距离 之和最小. 解:连接AC,BD 交于点M,则点 M 即 为所求. 点评 同样此题也将实际问题转化为几 何问题.对于求一点到这四点距离之和最小 的问题,可直接连接相对的两点,它们的交点 即为所求. 1. 如图所示,有一只正方体盒子,一只 虫子在顶点A 处,一只蜘蛛在顶点B 处,蜘 蛛沿着盒子准备偷袭虫子,那么蜘蛛想要最 快地捉住虫子,应怎样走? 2. 如图所示,有一个圆柱形的柱子,一 只小蚂蚁由圆柱的一条高线AB 的最底端B 点沿侧面转圈爬到顶端A 点,问小蚂蚁怎样 走路线最短? 84 2. 本题可转化为:在线段A1A4 上有多 少条不同的线段.由线段条数的计数规律可 知A1A4 上共有6条不同的线段,因而图中 共有6个不同的三角形.当在线段A1A4 上 共有n 个点的时候,有 n(n-1) 2 个三角形. 3. 5个站点共有 5×(5-1) 2 =10 (种)不 同票价,每两站之间要准备往返两种车票,所 以需要准备20种不同的车票. 4. 全班一共握手n (n-1) 2 = 50×(50-1) 2 =1225(次). 巧用两点之间线段最短 小试牛刀 1. 解:如图所示,沿线段BA 爬行,根据 两点之间,线段最短. 2. 解:蚂蚁沿侧面展开图中B-A 爬行 路线最短. 综合检测(一) 一、 1. B 2. A 3. D 4. D 5. A 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C 二、 11. 3.386×108 12. -10 13. 200 14. - 3 5 6 15. 3 16. 2 17. 45 0.75 87 5220 18. 75 19. 230或250 解析:乙出发x 秒后, 两人相距100米.由题意分两种情况:①甲、 乙相遇前相距100米,2.5x+7.5(x-120) =1500-100,解得:x=230;②甲、乙相遇后 相距100米,7.5(x-120)+2.5x=1500+ 100,解得x=250.答:则在乙出发230或250 秒后,两人相距100米. 20. 2+6n 三、 21. -7.8 22. 原式=ab2+ab 当a =3,b=- 1 3 时,原式=- 2 3. 23. 解:(1)划记两处出错处即可: 3(x+1) -1 􀪍􀪍 =8x 3x+3-1=8x 3x-8x=3-1 􀪍􀪍 -5x=2 x=- 2 5 (2)解:3x+3-6=8x 3x-8x=6-3 -5x=3 x=- 3 5 24. AM=3cm,NB=1.5c