第7章 平行线的证明（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（北师大版）

第7章 平行线的证明（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 一、定义、命题及证明 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点： （1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理. 3.证明: 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明. 要点： （1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论． （2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 【例1】（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）下列语句中，不是命题的是(   ) A．两点之间线段最短 B．不平行的两条直线只有一个交点 C．与y的差等于吗？ D．相等的角是对顶角 【变式】（2023上·浙江杭州·八年级校考期中）下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 二、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 【例2】如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023上·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图，点，，，在同一直线上，，，.求证：. 【变式2】（2023上·吉林·八年级统考期中）如图，，，，四点在同一条直线上，，，，连接交于．    (1)求证：． (2)求证：． (3)若，直接写出的长． 【变式3】图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且CD的延长线恰好是的角平分线，则 ． 三、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 要点： （1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论. （2）推论可以当做定理使用. 【例3】（2022上·江西萍乡·八年级校联考期中）如图，点E、A、B、F在同一条直线上，与交于点O，已知，．求证： (1)； (2)． 【变式】（2023上·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）在中，平分交于点，是边上的高，且，，求：的度数、的度数、的度数. 核心素养提升 1. 逻辑推理-利用平行线的性质与判定定理证明角相等或线段的位置关系 1．（2023上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，已知，与相交于点，从点引一条射线交线段于点，若，，求证：．    证明：（已知）， ________（两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （________）， ________（同位角相等，两直线平行）， ________（________）， ∵（已知）， （________）， （已知）， （________）． 2．（2023上·安徽滁州·八年级校联考期中）填写下列证明过程及推理依据． 已知：如图所示，交于点平分与相交于点平分与相交于点E，．    求证：． 证明：（已知） （____________） （____________） 平分，平分（