第二部分 运用整体思想求代数式的值&数学思想方法在“图形的初步认识”一章中的应用-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（华东师大版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 运用整体思想求代数式的值 代数式的求值问题,一般可以直接将字 母取值代入计算即可,但对于较复杂的代数 式,往往需要一定的技巧,而整体代入则是一 个非常行之有效的方法,即在处理问题时,不 着眼于问题的局部,而是着眼于问题的整体 结构作整体处理的方法,现举例说明. 例1 代数式x2+x+3的值为7,则代数式 2x2+2x-3的值为 . 解析 若用常规方法求代数式的值,必须由 条件求出x 的值,而目前并不能由x2+x+ 3=7求出x 的值,但可以考虑用整体代入处 理,把x2+x=7-3=4整体代入求值,这样 将十分简捷. 答案 因为x2+x+3=7,所以x2+x=4, 所以2x2+2x-3=2(x2+x)-3=2×4-3 =5. 例2 若x+2y+3z=10,4x+3y+2z= 15,则x+y+z= . 解析 若想由条件求出未知数的值,再代入 代数式计算,则无法求出结果,若用“整体代 入”法 尝 试,将 会 出 现 柳 暗 花 明 又 一 村 的 现象. 答案 ∵x+2y+3z=10,4x+3y+2z =15, ∴(x+2y+3z)+(4x+3y+2z)=10 +15=25. 即5(x+y+z)=25,∴x+y+z=5. 例3 若a,b互为相反数,c,d 互为倒数,则 (a+b)2016+(cd)2017= . 解析 由条件a,b 互为相反数,c,d 互为倒 数,并不能求出各个字母的值,但根据所求式 子的特征,若能求出整体的值,整体代入计 算,同样可以达到解题目的. 答案 由题意知:a+b=0,cd=1;因此,原 式=02016+12017=0+1=1. 例4 当 x-y x+y =2时,求 代 数 式 x-y x+y - 2 x+yx-y 的值. 解析 观察要求式子的特征,发现 x-y x+y 与 x+y x-y 互为倒数,本题只要把x-y x+y 与 x+y x-y 都 看作整体处理,将很快得出答案. 答案 由 x-y x+y =2,可知 x+y x-y = 1 2 ; 所以x-y x+y -2 x+yx-y =2-2× 1 2=1. 1. 已知x2-2x=5,则代数式2x2-4x -1的值为 . 2. 已知当x=1时,2ax2+bx 的值为 -2,求当x=2时,ax2+bx 的值. 93 第 二 部 分 专 题 选 讲 数学思想方法在“图形的初步认识” 一章中的应用 数学思想方法是数学学习的重要内容和 组成部分,在数学学习过程中适当运用数学 思想方法,往往会收到事半功倍的效果.本文 就数学思想方法在《图形的初步认识》学习中 的应用举几个例子,与大家共赏. 一、 分类讨论思想 例1 已知:线段AB=100cm,M 为AB 的 中点,在AB 所在直线上有一点P,N 为AP 的中点,若 MN=15cm,求AP 的长. 解析 根据题意中的所在直线就已经定性 了,P 点可能在线段上,也可能在延长线上. 所以应分情况讨论. 答案 ①当P 在线段AB 上,有 N 点在 M 点的左侧(如图1),则AP=2AN=2(AM- MN)=2 12AB -MN =2×(50-15) =70(cm); ②当P 在线段AB 延长线上,有N 点在 M 点 的 右 侧(如 图 2),则 AP =2AN = 2(AM+MN)=2 12AB+MN =2×(50+ 15)=130(cm). 所以AP 的长为70cm或130cm. 图1 图2 二、 数形结合思想 例2 如图,直线 AB,CD 相交于点O,作 ∠DOE = ∠BOD,OF 平 分 ∠AOE,若 ∠AOC=28°,则∠EOF= °. 解析 根据已知条件将数与形结合起来,利 用角平分线的性质及对顶角的性质可得.由 ∠AOC=28°得∠BOD=28°.由∠DOE= ∠BOD,得∠BOE=56°.所以∠AOE=180° -∠BOE=180°-56°=124°.由 OF 平 分 ∠AOE 得∠EOF= 1 2∠AOE=62°. 答案 62 三、 方程思想 例3 如图,C,D,E 将线段AB 分成2∶3∶ 4∶5四部分,M,P,Q,N 分别是AC,CD, DE,EB 的中点,且 MN=21,求PQ 的长. 解析 根据比例关系及中点性质,若设 AC =2x,则AB 上每一条短线段都可以用含x 的代数式表示.观察图形,已知量 MN=MC +CD+DE+EN,可转化成x 的方程,先求 出x,再求出PQ. 答案 若设AC=2x,则CD=3x,DE=4x, EB=5x,于是有 MC=x,EN= 5 2x , 那么 MN=MC+CD+DE+EN,即 21=x+3x+4x+ 5 2x ,解